Seminar Charaktertheorie endlicher Gruppen

Wintersemester 2017/18

Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie
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Inhalt Literatur Vorträge
Buchdeckel Einführung. Die Struktur eines mathematischen oder physikalischen Objektes, zum Beispiel eines Moleküls oder eines Kristalls, lässt sich über die Symmetriegruppe des jeweiligen Objektes beschreiben. Mit den verschiedenen Symmetrien kann man sogar rechnen: Sie bilden eine Gruppe. Oft ist es hilfreich, derartige Symmetriegruppen noch konkreter über ihre Wirkung auf einem (endlich dimensionalen) Vektorraum zu studieren. Auf diese Weise erhält man eine (lineare) Darstellung der Gruppe; Gruppenelemente lassen sich durch Matrizen repräsentieren. Jeder solchen Darstellung über den komplexen Zahlen C ordnet man ein noch einfacheres Datum zu, einen sogenannten Charakter. Die Charaktere einer endlichen Gruppe G sind spezielle komplexwertige Funktionen auf G, die in einer Charaktertafel zusammengefasst werden.

Ziele und Organisation. In dem Seminar werden wir gemeinsam die Darstellungen und Charaktere endlicher Gruppen studieren. Das Seminar richtet sich an Studierende, die zumindest Lineare Algebra I&II besucht haben. Weitere Vorkenntnisse, zum Beispiel aus der Algebra, sind von Vorteil, aber bei entsprechendem Engagement nicht unbedingt notwendig.

Das Seminar dient nicht ausschließlich, aber insbesondere als Brücke von der Vorlesung `Algebra' (SoSe 17) zur Vorlesung `Einführung in die Gruppentheorie' (SoSe 18) und kann in Kombination mit letzterer als Grundlage für eine Bachelorarbeit im Bereich der Gruppentheorie dienen.

Textgrundlage. Das Seminar orientiert sich stark an dem einführenden und gut lesbaren Buch von G. James & M. Liebeck, mit dem Titel Representations and characters of groups. Als ergänzende Literaturquellen können Representation theory of finite groups: An introductory approach von B. Steinberg, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen von J.-P. Serre (auch auf Französisch und Englisch verfügbar) und Character theory of finite groups von B. Huppert verwendet werden. Weitere Quellen befinden sich in der Bibliothek bzw. direkt online.
Vortragsthemen werden an alle Interessierten im Rahmen der geplanten Vorbesprechungen vergeben. Kommen Sie einfach zu einer der beiden Vorbesprechungen; falls Sie dringend verhindert sind, können Sie sich auch individuell um ein Vortragsthema bewerben. Aus organisatorischen Gründen ist die Anzahl der Vorträge auf maximal 14 beschränkt.

Seminar Charaktertheorie endlicher Gruppen

Vorbesprechung 1:
Mittwoch 26. Juli 2017, 14:00 - 14:30 in 25.22.03.73
(Wenn Sie Interesse haben, an dem Seminar teilzunehmen, aber nicht zu diesem Termin kommen konnten, kontaktieren Sie beizeiten Alejandra Garrido per E-Mail.)
Vorbesprechung 2:
Dienstag 10. Oktober 2017, 14:30 - 16:00 Uhr in 25.22.03.73
Beginn:
Dienstag 10. Oktober 2017
Zeit/Ort:
Di. 14:30 - 16:00 Uhr in 25.22.03.73
Ziel:
selbständiges Erarbeiten von mathematischen Texten und Präsentation des Gelernten.
Voraussetzungen:
Kenntnisse aus der Linearen Algebra; weitere Kenntnisse aus der Algebra sind vorteilhaft
Leistungsnachweis:
aktive Teilnahme, 80 minütiger Vortrag.
Veranstalter:
Gebäude 25.22, Raum 03.50
email: klopsch at math dot uni-duesseldorf dot de
Veranstalter:
Gebäude 25.22, Raum 03.42
email: alejandra dot garrido at uni-duesseldorf dot de
Sprechstunden: nach Vereinbarung

Literatur

Das Seminar orientiert sich stark an dem Buch:
  • G. James, M. Liebeck Representations and characters of groups, Cambridge University Press 2001.
Weitere hilfreiche Quellen sind:
  • B. Steinberg, Representation theory of finite groups: an introductory approach, Springer Universitext, 2012.
  • J.-P. Serre, Lineare Darstellungen endlicher Gruppen , Braunschweig: Vieweg, 1972.
  • B. Huppert, Character theory of finite groups, De Gruyter expositions in Mathematics 25, De Gruyter, 1998.

Wie halte ich einen Vortrag?

Einige nützliche Ideen bzw. Vorschläge, wie man einen Vortrag gut vorbereiten und halten kann, finden Sie z.B. hier:

Vorträge


Die Teilnehmer/innen besprechen frühzeitig mit uns einen ersten Plan für ihren Vortrag und treffen sich mindestens eine Woche im voraus mit Alejandra Garrido, um den Vortrag anhand von eigenständigen Notizen im Detail vorzustellen.

Di 10.10.2017 Alejandra Garrido Einführung und Wiederholung (Vergabe weiterer Vorträge)
Di 17.10.2017 Melinda Hagedorn Darstellungen und Moduln (Kap 3-5)
Di 24.10.2017 Matthias Häußler Der Satz von Maschke (Kap 7-8)
Di 31.10.2017 entfällt (Feiertag)
Di 07.11.2017 Alejandra Garrido Die Gruppenalgebra und das Schursche Lemma (Kap 6 und 9)
Di 14.11.2017 Kamran Alizadeh Rad Die Gruppenalgebra als "Träger" aller irreduziblen Darstellungen (Kap 10-11)
Di 21.11.2017 Maximilian Vöcklinghaus Die Konjugationsklassen einer Gruppe (Kap 12)
Di 28.11.2017 Robin Weishaupt Charaktere (Kap 13)
Di 05.12.2017 Alexander Thelen Innere Produkte von Charakteren (Kap 14)
Di 12.12.2017 Alejandra Garrido Anzahl der irreduziblen Charaktere und Orthogonalitätsrelationen (Kap 15 + 16)
Di 19.12.2017 alle Teilnehmer(innen) Besprechung von Beispielen und Übungsaufgaben (Blätter 3 und 4)
Di 09.01.2018 Johannes Merck Neue Charaktere aus bekannten - Tensorprodukte (Kap 19)
Di 16.01.2018 entfällt
Di 23.01.2018 Max Lobermeier Darstellungen und Untergruppen (Kap 20 + erster Teil von Kap 21)
Di 30.01.2017 Schimon Dieseler Anwendungen zu Molekülschwingungen (Kap 32)

Eine detailiertere Beschreibung der im einzelnen geplanten Vortragsthemen finden Sie hier .

Ausgewählte Übungsaufgaben zur Vertiefung des Stoffes:


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Letzte Änderung: 15.0.1.2018