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Vorbesprechung: Interessenten wenden sich bitte an die Veranstalter.
Inhalt: Ziel des Seminars ist es, Grothendiecks axiomatische Definition der Chern-Klassen für lokal freie Garben auf Schemata zu verstehen. Chern-Klassen entstanden in den 40er Jahren in Differentialgeometrie und Topologie und spielen nunmehr eine wichtige Rolle in der Algebraischen Geometrie.
Chern-Klassen sind algebraische Invarianten von lokal freien Garben: Sind E und F isomorph, so sind ihre Chern-Klassen ci(E) und ci(F) gleich (die Umkehrung gilt allerdings nicht). Diese Theorie eröffnet somit einen Weg, auf algebraischem Wege zu zeigen, dass zwei lokal freie Garben nicht isomorph sind. Sie spielen weiterhin eine zentrale Rolle im Satz von Grothendieck-Riemann-Roch, der eine Formel für die Euler-Charakteristik X(E) in Chern-Klassen ist. Im gewissen Sinne bilden Chern-Klassen eine umfassende Verallgemeinerung des Grads der invertierbarer Garben auf Kurven.
Es existieren etliche, gänzlich verschiedene Ansätze zur Definition und Berechnung von Chern-Klassen. In jedem Fall nehmen sie Werte ci(E) ∈ Ai(X) in gewissen abelschen Gruppen Ai(X) an, die funktoriell von X abhängen. Grothendieck gab eine sehr einfache und direkte Definition der Chern-Klassen, die nur auf der Axiomatik des Funktors X → Ai(X) beruht. Als Beispiel für so einen Funktor werden wir die Chow-Gruppen CH i(X) durchnehmen.
Literatur:
[DV] A. Douady, J.-L. Verdier: Séminaire de géométrie analytique. Asterique 36-37 (1976).
[Fu] W. Fulton: Rational equivalence on singular varieties. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1975), 147-167.
[Gr1] A. Grothendieck: La théorie des classes de Chern. Bull. Soc. Math. France 86 (1958), 137-154
[Gr2] A. Grothendieck: Sur quelques propriétés fondamentales en théorie des intersections In: Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications. Secrétariat mathématique, 11 rue Pierre Curie, Paris 1958
[Se] E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 334. Springer, Berlin , 2006.
[DV] A. Douady, J.-L. Verdier: Séminaire de géométrie analytique. Asterique 36-37 (1976).
[Fu] W. Fulton: Rational equivalence on singular varieties. Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 45 (1975), 147-167.
[Gr1] A. Grothendieck: La théorie des classes de Chern. Bull. Soc. Math. France 86 (1958), 137-154
[Gr2] A. Grothendieck: Sur quelques propriétés fondamentales en théorie des intersections In: Séminaire C. Chevalley, Anneaux de Chow et applications. Secrétariat mathématique, 11 rue Pierre Curie, Paris 1958
[Se] E. Sernesi: Deformations of algebraic schemes. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 334. Springer, Berlin , 2006.
Scheinkriterium:
Regelmäßige Teilnahme und Halten eines Vortrags. Sie
müssen sich
spätestens zwei Woche vor dem eigenen Vortrag beim
Assistenten
melden, um das Vortragsthema durchzusprechen. In der Woche vor dem
Vortrag soll das Vortragsmanuskript dem Assistenten gezeigt werden.
| Name Vortragender | Titel
des Vortrags |
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| 19.11. |
Gjilsha Neziri | Chow-Gruppen [Fu] Abschnitte 1.12-1.8, ohne 1.6 und 1.7 |
| 26.11. |
Johanna Lubas | Gysin-Abbildungen [Fu] Abschnitte 1.6, 1.7, 1.9 |
| 03.12.. |
entfällt |
|
| 10.12. |
Sascha Novakovic | Grassmannsche
Räume [Se] Abschnitt 4.3.3 |
| 17.12. |
Lisa Bettermann | Axiome
für A• (X) [Gr1] Abschnitt 2 |
| 07.01. |
Felix Schüller | Definition
und Eigenschaften der Chern-Klassen [Gr1] Abschnitt 3 |
| 14.01. |
Holger Partsch | Die
Nullklasse zu einem regulären Schnitt [Gr1] Abschnitt 5 |
| 21.01. |
Philipp Gross | Multiplikationsgesetz
in Chow-Gruppen [Fu] Abschnitt 2 und [DV] Abschnitt I.02 |
| 28.01. | N.N. | Chow-Ring
eines projektiven Bündels [DV] Abschnitt II, Seite 47-50 |
Detailliertes Programm
Elektronischer Semesterapparat
Sprechstunden: Prof. Dr. Stefan Schröer am Montag, 11-12 Uhr ct., Philipp Gross am Dienstag, 13 - 14 Uhr, Felix Schüller am Mittwoch, 14 - 15 Uhr
Wie halte ich einen Seminarvortrag? (von Prof. Dr. Manfred Lehn)
zuletzt bearbeitet:
29.08.2007