Mathematical Colloquium

Die Kondensierte Mathematik ist ein jüngst von D. Clausen und P. Scholze eingeführter Zugang zu einigen fundamentalen Fragen topologischer Abelscher Gruppen, Moduln und Garben.
Ein häufig auftretendes Problem in der kommutativen Algebra und algebraischen Geometrie besteht darin, daß grundlegende Handwerkszeuge (wie z. B. Dualität) nur unter starken Endlichkeits- bedingungen zur Verfügung stehen. Diese werden allerdings von Operationen wie Pushforward längs einem nicht eigentlichen Morphismus i. a. nicht erhalten. Versucht man, dieses Problem durch Hinzufügung einer topologischen Struktur zu lösen, treten andere Schwierigkeiten auf, von denen einige (z. B. Vervollständigung) technischer Natur sind. Viel Grundlegender ist jedoch, daß die Kategorie z. B. der topologischen Abelschen Gruppen nicht Abelsch ist.
Die von Clausen und Scholze eingeführte Theorie ersetzt den Begriff des topologischen Raumes durch denjendigen der kondensierten Menge, welcher statt der offenen Menge die Intuition der Konvergenz formalisiert. Darauf aufbauend erhält man Kategorien der soliden (= „Vollständigen“) kondensierten Moduln bzw. Garben, welche hervorragende kategorielle Eigenschaften aufweisen und sich unter den üblichen sechs Operationen (Pushforward, Pullback, Dualität etc.) gut verhalten. Dies erlaubt es z. B., die Grothendieck-Dualität ohne Eigentlichkeitsbedingung an den Morphismus zu beweisen.

TBA (Here is the abstract of the talk.....)

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For complex varieties, both algebraic and analytic, the Kodaira dimension is one of the fundamental invariants governing their rough geometry. It encodes a coarse measure of the positivity of the canonical bundle. Conjecturally, all varieties are built from positively curved, negatively curved, or flat varieties, the latter corresponding to varieties with (numerically) trivial canonical bundle.
We give an overview of the structure theory of complex varieties, with a focus on the $K$-trivial case. In particular, we explain the advances of the last fifteen years concerning generalizations of the Beauville-Bogomolov decomposition theorem to the singular setting.

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