Title: De Morgansche Regel (I)
Q: Das Komplement einer Vereinigung ist [...]
A: der Schnitt der Komplemente.
Type: Satz
Number: 01.08
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Topic: Mengen

Title: De Morgansche Regel (II)
Q: Das Komplement eines Schnitts ist [...]
A: die Vereinigung der Komplemente.
Type: Satz
Number: 01.08
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Topic: Mengen

Q: Ein Urbild eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist [Element]
A: ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).
Type: Definition
Number: 01.17
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Topic: Mengen

Q: Das Urbild einer Teilmenge \(B'\subseteq B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist [...]
A: die Menge aller \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).
Type: Definition
Number: 01.17
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Topic: Mengen

Q: Die Faser eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist [...]
A: die Menge aller Urbilder von \(b\).
Type: Definition
Number: 01.17
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Topic: Mengen

Q: Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist injektiv, wenn [Urbild]
A: jedes \(b\in B\) höchstens ein Urbild besitzt.
Type: Definition
Number: 01.22
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Topic: Mengen

Q: Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist surjektiv, wenn [Urbild]
A: jedes \(b\in B\) mindestens ein Urbild besitzt.
Type: Definition
Number: 01.22
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Topic: Mengen

Q: Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist bijektiv, wenn [Urbild]
A: jedes \(b\in B\) genau ein Urbild besitzt.
Type: Definition
Number: 01.22
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Topic: Mengen

Title: Umkehrabbildung
Q: Eine Umkehrabbildung einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine [...]
A: Abbildung \(A\leftarrow B :\! g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.
Type: Definition
Number: 01.20
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Topic: Mengen

Q: Ein Isomorphismus von Mengen ist eine [...]
A: Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist).
Type: Definition
Number: 01.20
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Topic: Mengen

Q: Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie [...] ist.
A: bijektiv
Type: Satz
Number: 01.23
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Topic: Mengen

Q: Zwei Mengen sind isomorph, wenn [...]
A: es eine Bijektion/einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Back Extra: (Äquivalente Ausdrucksweisen:
Die Mengen haben dieselbe Kardinalität.
Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit. Die Mengen sind gleich mächtig.)
Type: Definition
Number: 01.24
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Topic: Mengen

Q: Zwei Mengen haben dieselbe Kardinalität, wenn [...]
A: es eine Bijektion/einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
Back Extra: (Äquivalente Ausdrucksweisen:
Die Mengen sind isomorph. Die Mengen sind gleich mächtig. Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit.)
Type: Definition
Number: 01.24
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Topic: Mengen

Sind \(X\) und \(Y\) endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
1. \(f\) ist injektiv
2. \(f\) ist surjektiv
Back Extra: Insbesondere ist \(f\) also bijektiv, sobald auch nur eine dieser Eigenschaften erfüllt ist.
Type: Satz
Number: 01.26
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Topic: Mengen

Q: Eine Relation auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von [...]
A: \(M\times M\).
Type: Definition
Number: 01.27
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Topic: Mengen

Q: Sei \(R_\sim \subseteq M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\(x\sim y\) | bedeutet | [...]
A: \((x,y)\in R_\sim \)
Type: Definition
Number: 01.27
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Topic: Mengen

Q: Eine Relation \(R_\sim \) auf einer Menge \(M\) ist reflexiv, falls [...]
A: \[ x\sim x \text{ für alle } x \in M. \]
Type: Definition
Number: 01.28
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Topic: Mengen

Q: Eine Relation \(R_\sim \) auf einer Menge \(M\) ist symmetrisch, falls [...]
A: \[ x\sim y \quad \Leftrightarrow \quad y\sim x \]
für alle \(x,y\in M\).
Type: Definition
Number: 01.28
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Topic: Mengen

Q: Eine Relation \(R_\sim \) auf einer Menge \(M\) ist transitiv, falls [...]
A: \[ (x\sim y \text{ und } y \sim z) \quad \Rightarrow \quad x\sim z \]
für alle \(x,y\in M\).
Type: Definition
Number: 01.28
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Topic: Mengen

Q: Eine Äquivalenzrelation ist eine
[...]
[...]
[...]
Relation.
A: reflexive; symmetrische; transitive
Type: Definition
Number: 01.28
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Topic: Mengen

Q: Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\(x\sim _f y\) | \(\Leftrightarrow \) | [...]
A: \(f(x) = f(y)\).
Type: Definition
Number: 01.26
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Topic: Mengen

Q: Die Äquivalenzklasse \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim \) besteht aus [...]
A: allen Elementen \(y\) mit \(y\sim x\).
Type: Definition
Number: 01.28
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Topic: Mengen

Q: Die Quotientenmenge
\[ M/\! \sim \]
einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim \) besteht aus [...]
A: allen Äquivalenzklassen von \(M\) bezüglich \(R_\sim \).
Back Extra: sprich: „\(M\) modulo \(\sim \)“
Type: Definition
Number: 01.29
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Topic: Mengen

Title: Isomorphiesatz für Mengen
Q: Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen [...]
A: \[ A/\! \sim _f \; \xrightarrow {\quad \cong \quad }\; f(A). \]
Type: Satz
Number: 01.32
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Topic: Mengen

Q: Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge \(M\) ist [...]
A: eine Abbildung \(M\times M\to M\).
Type: Definition
Number: 02.01
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Topic: Gruppen

Q: Eine Verknüpfung \(\star \) auf einer Menge \(M\) ist assoziativ, falls gilt: [...]
A: \[ x\star (y\star z) = (x\star y)\star z \]
für alle \(x,y,z \in M\).
Type: Definition
Number: 02.02
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Topic: Gruppen

Q: Eine Verknüpfung \(\star \) auf einer Menge \(M\) ist kommutativ, falls gilt: [...]
A: \[ x\star y = y\star x \]
für alle \(x,y \in M\).
Type: Definition
Number: 02.02
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Topic: Gruppen

Q: Ein neutrales Element einer Verknüpfung \(\star \) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt: [...]
A: \[ e\star x = x = x\star e \]
für alle \(x\in M\).
Type: Definition
Number: 02.03
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Topic: Gruppen

Q: Sei \(\star \) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element \(e\). Ein inverses Element zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt: [...]
A: \[ x\star y = e = y\star x \]
Type: Definition
Number: 02.03
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Topic: Gruppen

Q: Eine Gruppe besteht aus einer Menge \(G\) und aus [...]
A: einer Verknüpfung \(\star \) auf \(G\).
Type: Definition
Number: 02.03
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Topic: Gruppen

Q: Eine Gruppe \((G,\star )\) muss den folgenden Axiomen genügen:
- [...]
- [...]
- [...]
A: \(\star \) ist assoziativ.; \(\star \) besitzt ein neutrales Element.; Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star \).
Type: Definition
Number: 02.03
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Topic: Gruppen

Q: Ein Gruppe \((G,\star )\) ist abelsch, falls [...]
A: die Verknüpfung \(\star \) kommutativ ist.
Back Extra: In diesem Fall benutzen wir in der Regel das Symbol „\(+\)“ für die Verknüpfung.
Type: Definition
Number: 02.03
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Topic: Gruppen

Q: In einer Gruppe \((G,\cdot )\) ist das Inverse eines Produkts \(x\cdot y\) gegeben durch
\((x\cdot y)^{-1}\) | \(~ =~ \) | [...]
A: \(y^{-1}\cdot x^{-1}\)
Back Extra: Reihenfolge beachten!
Type: Satz
Number: 02.07
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Topic: Gruppen

Q: Eine Untergruppe einer Gruppe \((G,\cdot )\) ist eine Teilmenge \(H\subseteq G\), für die gilt:
1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: Das neutrale Element von \(G\) liegt in \(H\).; Für alle \(x,y\in H\) gilt: \(x\cdot y \in H\).; Für alle \(x\in H\) gilt: \(x^{-1}\in H\).
Type: Definition
Number: 02.08
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Topic: Gruppen

Q: Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star )\to (H,\cdot )\) ist ein Gruppenhomomorphismus, falls gilt: [...]
A: \[ f(g_1\star g_2) = f(g_1)\cdot f(g_2) \]
für alle \(g_1,g_2 \in G\).
Type: Definition
Number: 02.10
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Topic: Gruppen

Q: Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
\[ f\colon G_1\to G_2 \]
besteht aus [...]
A: allen Elementen von \(G_1\), die auf das neutrale Element von \(G_2\) abgebildet werden.
Type: Definition
Number: 02.15
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Topic: Gruppen

Q: Die Links-Nebenklasse eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star )\) ist die Teilmenge [...]
A: \[ g\star H := \{ g\star h \mid h\in H\} . \]
Type: Definition
Number: 02.17
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Topic: Gruppen

Q: Eine Untergruppe ist normal, wenn [...]
A: Links- und Rechts-Nebenklassen übereinstimmen.
Back Extra: (\(g\star H = H\star g\) für alle \(g\in G\).)
Type: Definition
Number: 02.19
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Topic: Gruppen

Q: Die Menge aller Links-Nebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern [...]
A: die Untergruppe normal ist.
Back Extra: (In diesem Fall sind Links-Nebenklassen gleich Rechts-Nebenklassen, und die Menge aller dieser Nebenklassen mit obiger Gruppenstruktur heißt Quotientengruppe.)
Type: Satz
Number: 2.21
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Topic: Gruppen

Q: Die Quotientengruppe \(G/H\) einer Gruppe modulo einer [...] Untergruppe besteht aus den [...]
A: normalen; (Links-)Nebenklassen von \(H\) in \(G\).
Back Extra: (Da die Untergruppe normal ist, sind hier Links-Nebenklassen dasselbe wie Rechts-Nebenklassen.)
Type: Definition
Number: 02.21
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Topic: Gruppen

Q: Eine \(n\)-stellige Permutation ist [...]
A: eine bijektive Abbildung
\[ \{ 1,\dots , n\} \xrightarrow {\quad \cong \quad } \{ 1,\dots ,n\} . \]
Type: Definition
Number: 02.26
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Topic: Gruppen

Q: Die symmetrische Gruppe \(S_n\) besteht aus [...]
A: allen \(n\)-stelligen Permutationen.
Type: Definition
Number: 02.27
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Topic: Gruppen

Q: Die symmetrische Gruppe \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelligen Permutationen zusammen mit [...] als Verknüpfung.
A: der Komposition
Type: Definition
Number: 02.27
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Topic: Gruppen

Q: Ein Fehlstand einer \(n\)-stelligen Permutation \(\sigma \) ist [...]
A: eine zwei-elementige Teilmenge \(\{ i,k\} \subseteq \{ 1,\dots , n\} \) mit
\(i {\lt} k\) und \(\sigma (i) {\gt} \sigma (k)\)
Type: Definition
Number: 02.29
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Topic: Gruppen

Q: Das Signum einer Permutation \(\sigma \) ist gegeben durch
\(\operatorname{sgn}(\sigma )\) | \(~ :=~ \) | [...]
A: \((-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von } \sigma }\)
Type: Definition
Number: 02.29
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Topic: Gruppen

Q: Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{ \pm 1\} \). Das bedeutet: [...]
A: \[ \operatorname{sgn}(\sigma _1\circ \sigma _2) = \operatorname{sgn}(\sigma _1)\cdot \operatorname{sgn}(\sigma _2) \]
Type: Satz
Number: 02.30
Other fields (not shown on cards):
Topic: Gruppen

Q: Die alternierende Gruppe \(A_n\) ist [...]
A: der Kern des Signums.
Back Extra: \[ A_n := \ker (\operatorname{sgn}\colon S_n \to \{ \pm 1\} ) \]
Type: Definition
Number: 02.31
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Topic: Gruppen

Q: Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot \) auf einer Menge \(R\) erfüllen die Distributivgesetze, falls für alle \(x,y,z\in R\) gilt: [...]
A: \[ \begin{aligned} (x+y)\cdot z & = (x\cdot z) + (y\cdot z) \\ z\cdot (x+y) & = (z\cdot x) + (z\cdot y) \end{aligned} \]
Type: Definition
Number: 03.01
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Topic: Ringe

Q: Ein Ring besteht aus einer Menge \(R\) sowie [...]
A: zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot \).
Type: Definition
Number: 03.01
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Topic: Ringe

Ein Ring \((R,+,\cdot )\) muss den folgenden Axiomen genügen:
- \((R,+)\) ist eine abelsche Gruppe.
- \(\cdot \) ist assoziativ.
- \(\cdot \) besitzt ein neutrales Element \(1\).
- Es gelten die Distributivgesetze.
Type: Definition
Number: 03.01
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Topic: Ringe

Q: Ein kommutativer Ring ist ein Ring, in dem [...]
A: auch die Multiplikation kommutativ ist.
Type: Definition
Number: 03.01
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Topic: Ringe

Q: Ein Ringhomomorphismus ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
- [...]
- [...]
- [...]
A: \(f(x+y) = f(x) + f(y)\); \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\); \(f(1) = 1\)
Type: Definition
Number: 03.03
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Topic: Ringe

Q: Eine Einheit in einem Ring \(R\) ist ein Element, das [...]
A: ein multiplikatives Inverses besitzt.
Type: Definition
Number: 03.04
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Topic: Ringe

Q: Die Einheitengruppe \(R^\times \) eines Rings \(R\) ist [...] zusammen mit [...] als Verknüpfung.}}
A: die Menge aller Einheiten; der Multiplikation
Type: Definition
Number: 03.04
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Topic: Ringe

Q: Ein Körper ist ein [...], in dem [...]
A: kommutativer Ring; jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
Type: Definition
Number: 03.05
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Topic: Ringe

Q: In [...] und in [...] gilt:
\(a\cdot b = 0\) \(\quad \Leftrightarrow \quad \) [...]
A: Körpern; \(\mathbb {Z}\); \(\left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)\)
Type: Notiz
Number: 03.06
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Topic: Ringe

Q: Der Ring \(\mathbb {Z}/p\mathbb {Z}\) ist genau dann ein Körper, wenn [...]
A: \(p\) eine Primzahl ist.
Back Extra: (Wir schreiben dann auch \(\mathbb {F}_p := \mathbb {Z}/p\mathbb {Z}\).)
Type: Satz
Number: 03.07
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Topic: Ringe

Q: Ein Polynom mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form [...]
A: \[ a_n X^n + \cdots + a_2 X^2 + a_1 X^1 + a_0 \]
mit \(a_n,\dots ,a_2,a_1,a_0 \in R\), \(n\in \mathbb {N}_0\).
Type: Definition
Number: 03.12
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Topic: Ringe

Q: Zwei Polynome sind gleich, wenn [...]
A: alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.
Type: Definition
Number: 03.12
Other fields (not shown on cards):
Topic: Ringe

Q: Der Polynomring \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus [...]
A: allen Polynomen mit Koeffizienten in \(R\).
Type: Definition
Number: 03.13
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Topic: Ringe

Q: Der Grad \(\deg (A)\) eines Polynoms
\[ A=\sum _{i\geqslant 0} a_i X^i \neq 0 \]
ist [...]
A: ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.
Type: Definition
Number: 03.14
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Topic: Ringe

Q: Der Leitkoeffizient eines Polynoms \(A=\sum _{i\geqslant 0} a_i X^i\) ist [...]
A: der Koeffizient \(a_{\deg (A)}\).
Type: Definition
Number: 03.14
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Topic: Ringe

Title: Gradformel
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\). Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\(\deg (A\cdot B)\) \(=\) \(\deg A + \deg B\)
Type: Satz
Number: 03.15
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Topic: Ringe

Q: Polynomdivison mit Rest
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) [...] so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(A =\) [...]
mit [...]
A: eine Einheit ist,; \(B\cdot Q + S\); \(\deg S{\lt}\deg B\).
Type: Satz
Number: 03.16
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Topic: Ringe

Q: Ist \(r\in R\) eine Nullstelle von \(A\in R[X]\), so ist
\(A =\) [...]
A: \((X-r)\cdot Q\)
Type: Satz
Number: 03.19
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Topic: Ringe

Q: Ein Polynom \(A\neq 0\) [...] hat [...] [...] verschiedene Nullstellen.
A: über einem Körper; höchstens; \(\deg (A)\)
Type: Korollar
Number: 3.20
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Topic: Ringe

Q: Ein Vektorraum über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: einer Menge \(V\); einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\); einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot \colon K\times V\to V\)
Type: Definition
Number: 04.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Ein \(K\)-Vektorraum \((V,+,\cdot )\) muss folgenden Axiomen genügen:
- \((V,+)\) ist eine abelsche Gruppe
- \(r\cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = r\cdot \mathbf{u} + r\cdot \mathbf{v}\)
- \((r+s)\cdot \mathbf{v} = r\cdot \mathbf{v} + s \cdot \mathbf{v}\)
- \((rs)\cdot \mathbf{v} = r\cdot (s\cdot \mathbf{v} )\)
- \(1\cdot \mathbf{v} = \mathbf{v}\)
für alle \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\) und alle \(r, s\in K\).
Type: Definition
Number: 04.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Untervektorraum eines Vektorraums \(V\) über \(K\) ist [...], [...]
A: eine Untergruppe von \((V,+)\); auf die sich die Skalarmultiplikation von \(V\) einschränken lässt, und die zusammen mit dieser einsgeschränkten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum über \(K\) ist.
Type: Definition
Number: 04.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
1. [...]
2. [...]
3. [...]
A: \(\mathbf{0}\in U\); \(\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2 \in U\) für alle \(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2 \in U\); \(s\mathbf{u} \in U \) für alle \(\mathbf{u}\in U\), \(s\in K\)
Type: Notiz
Number: 04.05
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist [...]
A: wieder ein Untervektorraum.
Type: Satz
Number: 04.06
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist [...]
A: im Allgemeinen kein Untervektorraum.
Type: Satz
Number: 04.06
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Eine Linearkombination von Vektoren aus einer Menge \(M\) ist [...]
A: eine endliche Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren.
Back Extra: \[ s_1 {\mathbf{v}_1} + \dots + s_n {\mathbf{v}_n} \]
mit \(n\in \mathbb {N}_0\), \(s_1,\dots ,s_n \in K\), \(\mathbf{v}_1,\dots ,\mathbf{v}_n \in M\)
Type: Definition
Number: 04.07
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Die lineare Hülle \(\left\langle M \right\rangle \) einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist per Definition die Menge [...]
A: aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).
Back Extra: \[ \left\langle M \right\rangle = \left\{ \sum _{i=1}^n s_i \mathbf{v}_i \; \middle \vert \; n\in \mathbb {N}_0, s_i \in K, \mathbf{v}_i \in M \right\} \]
Type: Definition
Number: 04.08
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Title: Charakterisierung der Hülle
Q: Die lineare Hülle \(\left\langle M \right\rangle \) ist [...]
A: der kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.
Type: Satz
Number: 04.09
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Topic: Vektorräume

Q: Die interne Summe von Untervektorräumen \(U_i \subset V\) ist [...]
A: die lineare Hülle ihrer Vereinigung.
Back Extra: \[ \textstyle \sum _i U_i := \left\langle \textstyle \bigcup _i U_i \right\rangle \]
Type: Definition
Number: 04.10
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraumhomomorphismus/eine \(K\)-lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
- [...]
- [...]
A: \(f(\mathbf{v} + \mathbf{v}') = f(\mathbf{v}) + f(\mathbf{v}')\) für alle \(\mathbf{v}, \mathbf{v}' \in V\); \(f(s\mathbf{v}) = sf(\mathbf{v})\) für alle \(s\in K\), \(\mathbf{v}\in V\)
Type: Definition
Number: 04.12
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraum-Isomorphismus ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die [...]
A: eine lineare Umkehrabbildung \(V\leftarrow W :\! g\) existiert.
Back Extra: (\(f\circ g=\mathrm{id}\) und \(g\circ f=\mathrm{id}\))
Type: Definition
Number: 04.14
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Title: Satz
Q: Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie [...] ist.
A: bijektiv
Number: 04.15
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraum-Monomorphismus ist eine [...]
A: injektive lineare Abbildung.
Type: Definition
Number: 04.15
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraum-Epimorphismus ist eine [...]
A: surjektive lineare Abbildung.
Type: Definition
Number: 04.15
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraum-Endomorphismus ist eine lineare Abbildung [...]
A: mit gleichem Definitions- und Werteraum:
\[ V\to V \]
Type: Definition
Number: 04.15
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Vektorraum-Automorphismus ist [...]
A: ein Vektorraum-Isomorphismus mit gleichem Definitions- und Werteraum:
\[ V\xrightarrow {\cong } V \]
Type: Definition
Number: 04.15
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Title: Injektivitätskriterium
Q: Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn [...]
A: ihr Kern trivial ist (also nur aus dem Nullvektor besteht).
Type: Satz
Number: 04.17
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Das Produkt von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist das kartesische Produkt \(\prod _i V_i\), ausgestattet mit [...]
A: komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
Type: Def
Number: 04.18
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Die Summe \(\bigoplus _{i\in I} V_i\) von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist [...]
A: der Untervektorraum des Produkts \(\prod _i V_i\), der nur aus denjenigen Tupeln besteht, bei denen nur endlich viele Einträge ungleich \(\mathbf{0}\) sind.
Type: Def
Number: 04.19
Other fields (not shown on cards):
Topic: Vektorräume

Q: Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums ist ein Tupel von Vektoren, [...]
A: deren lineare Hülle der ganze Vektorraum ist.
Type: Definition
Number: 05.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Basen

Q: Ein Tupel von Vektoren ist linear unabhängig, falls [...]
A: sich die Vektoren nur auf triviale Weise zum Nullvektor linear kombinieren lassen.
Type: Definition
Number: 05.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Basen

Q: Eine Basis eines Vektorraums ist [...]
A: ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
Type: Definition
Number: 05.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Basen

Q: Ein Tupel von Vektoren ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn [Darstellung]
A: jeder Vektor aus \(V\) mindestens eine Darstellung als Linearkombination der Vektoren des Tupels besitzt.
Type: Satz
Number: 05.03
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Topic: Basen

Q: Ein Tupel von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn [Darstellung]
A: jeder Vektor höchstens eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren des Tupels besitzt.
Type: Satz
Number: 05.03
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Topic: Basen

Q: Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn [Darstellung]
A: jeder Vektor genau eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren aus \(M\) besitzt.
Type: Satz
Number: 05.03
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Topic: Basen

Q: Eine Basis ist ein m[...]}} Erzeugendensystem.
A: inimales
Type: Satz
Number: 05.06
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Topic: Basen

Q: Eine Basis ist ein m[...] linear unabhängiges Tupel.
A: aximales
Type: Satz
Number: 05.06
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Topic: Basen

Q: Die Dimension eines Vektorraums ist [...]
A: die Länge einer Basis \((\mathbf{v}_i)_{i\in I}\).
Back Extra: Mit anderen Worten: die „Anzahl der Elemente“ in der Basis bzw. die Kardinalität der Indexmenge \(I\).
Type: Definition
Number: 05.10
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Topic: Basen

Title: Basisauswahlsatz
Q: [...]
A: Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
Type: Satz
Number: 05.07
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Topic: Basen

Title: Basisergänzungssatz
Q: [...]
A: Jedes linear unabhängige Tupel lässt sich zu einer Basis ergänzen.
Type: Satz
Number: 05.07
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Topic: Basen

Title: Dimensionssatz
Q: [Basen]
A: Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Länge.
Type: Satz
Number: 05.08
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Topic: Basen

Q: Ein Vektorraum heißt endlich-erzeugt, falls [...]
A: er ein endliches Erzeugendensystem/eine endliche Basis besitzt.
Back Extra: äquivalent: endlich-dimensional
Type: Definition
Number: 05.09
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Topic: Basen

Title: Basiskriterium
Q: Ein linear unabhängiges Tupel eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn [Länge]
A: seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
Type: Satz
Number: 05.13
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Topic: Basen

Title: Basiskriterium
Q: Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn [Länge]
A: seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
Type: Satz
Number: 05.13
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Topic: Basen

Title: Steinitzsches Austauschlemma
Q: Sei \((\mathbf{b}_1,\dots ,\mathbf{b}_d)\) eine Basis,
\[ \mathbf{u} = s_1 \mathbf{b}_1 + \dots + s_d \mathbf{b}_d \]
ein beliebiger Vektor. Falls [...], [...]
A: \(s_k\neq 0\); erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\mathbf{b}_k\) gegen \(\mathbf{u}\) austauschen.
Type: Lemma
Number: 05.11
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Topic: Basen

Title: Dimensionsformel
Q: Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\(\dim (U_1 + U_2) =\) [...]
A: \(\dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)\)
Type: Satz
Number: 05.14
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Topic: Basen

Title: Dimensionsformel
Q: Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\(\dim (V/U) =\) [...]
A: \(\dim V - \dim U\)
Type: Satz
Number: 05.14
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Topic: Basen

Title: Dimensionsformel
Q: \(\dim (V_1\oplus V_2) =\) [...]
A: \(\dim (V_1) + \dim (V_2)\)
Type: Satz
Number: 05.14
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Topic: Basen

Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
- \(f\) ist surjektiv.
- \(f\) bildet ein Erzeugendensystem von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystemvon \(W\).
- \(f\) bildet jedes Erzeugendensystem von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystemvon \(W\).
Type: Satz
Number: 05.16
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Topic: Basen

Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
- \(f\) ist injektiv.
- \(f\) bildet eine linear unabhängige Familieaus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familiein \(W\).
- \(f\) bildet jede linear unabhängige Familieaus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familiein \(W\).
Type: Satz
Number: 05.16
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Topic: Basen

Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
- \(f\) ist bijektiv/ein Isomorphismus.
- \(f\) bildet eine Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
- \(f\) bildet jede Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
Type: Satz
Number: 05.16
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Topic: Basen

Q: Der Rang einer linearen Abbildung ist [...]
A: die Dimension ihres Bildes.
Type: Definition
Number: 05.18
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Topic: Basen

Title: Rangformel
Q: Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\(\operatorname{rk}(f) =\) [...]
A: \(\dim V - \dim (\ker f)\)
Type: Satz
Number: 05.17
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Topic: Basen

Title: Isomorphismuskriterium
Sind \(V\) und \(W\) endlich-dimensionaleVektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
1. \(f\) ist ein Monomorphismus.
2. \(f\) ist ein Epimorphismus.
Back Extra: Insbesondere ist \(f\) also, sobald auch nur eine dieser Eigenschaften erfüllt ist, ein Isomorphismus.
Type: Korollar
Number: 05.19
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Topic: Basen

Title: Hauptsatz, Teil II
Q: Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch [...]
A: Multiplikation mit einer Matrix.
Type: Satz
Number: 06.04
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Topic: Matrizen

Q: Die zu einer linearen Abbildung \(K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
[...]
A: Spalte \(j\) ist das Bild des \(j\)-ten Standardbasisvektors.
Type: Satz
Number: 06.04
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Topic: Matrizen

Q: Das Produkt zweier Matrizen entspricht [...] der durch sie definierten linearen Abbildungen.
A: der Komposition
Type: Satz
Number: 06.09
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Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung [...]
A: ein Isomorphismus ist.
Type: Notiz
Number: 06.12
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Topic: Matrizen

Q: Der Rang einer Matrix ist [Abbildung]
A: der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.
Back Extra: (Mit anderen Worten: die Dimension des Bildes dieser linearen Abbildung.)
Type: Definition
Number: 06.13
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Topic: Matrizen

Q: Der Rang einer Matrix ist [erzeugter Unterraum]
A: die Dimension des durch ihre Spalten erzeugten Unterraums.
Type: Satz
Number: 06.33
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Topic: Matrizen

Q: Ein homogenes lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form [...]
A: \(A\cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}\).
Type: Definition
Number: 06.14
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Topic: Matrizen

Q: Der Lösungsraum eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\(\mathcal L(A) :=\) [...]
A: \(\{ \mathbf{x} \mid A\cdot \mathbf{x} = \mathbf{0}\} \)
Type: Definition
Number: 06.14
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Topic: Matrizen

Q: Der Lösungsraum eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\(\mathcal L(A,\mathbf{b}) :=\) [...]
A: \(\{ \mathbf{x} \mid A\cdot \mathbf{x} = \mathbf{b}\} \)
Type: Definition
Number: 06.14
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Topic: Matrizen

Q: Der Lösungsraum \(\mathcal L(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension [...]
A: \[ (\text{Anzahl der Unbestimmten})-\operatorname{rk}(A) \]
Back Extra: (äquivalent:
\[ (\text{Anzahl der Spalten von $A$})-\operatorname{rk}(A) \]
)
Type: Satz
Number: 06.15
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Topic: Matrizen

Q: Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\(\mathcal L(A,\mathbf{b}) =\) [...]
A: \(\underset {\substack {\uparrow \\ \text{irgendeine}\\ \text{Lösung des}\\ \text{inhomogenen}\\ \text{LGS} } } {\mathbf{x}_0} + \underset {\substack {\uparrow \\ \text{Lösungsraum}\\ \text{des homogenen}\\ \text{LGS} } } {\mathcal L(A)}\)
Type: Satz
Number: 06.17
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Topic: Matrizen

Title: Elementare Zeilentransformationen
Q: - [...]
- [...]
- [...]
A: Tauschen: Tausche zwei Zeilen.; Skalieren: Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).; Addieren: Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
Type: Definition
Number: 06.18
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Topic: Matrizen

Q: Zeilentransformationen entsprechen [...]-Multiplikation mit Matrizen.
A: Links
Back Extra: zeiLe
Type: Satz
Number: 06.20
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Topic: Matrizen

Q: Spaltentransformationen entsprechen [...]-Multiplikation mit Matrizen.
A: Rechts
Back Extra: spalteR
Type: Satz
Number: 06.20
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Topic: Matrizen

Q: Der Rang einer Matrix ist invariant unter [...]transformationen.
A: Zeilen- und Spalten
Type: Korollar
Number: 06.22
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Topic: Matrizen

Q: Der Lösungsraum \(\mathcal L(A,\mathbf{b})\) eines linearen Gleichungssystems ändert sich nicht unter [...]transformationen von \((A,\mathbf{b})\).
A: Zeilen
Type: Korollar
Number: 06.24
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Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix in Zeilenstufenform (ZSF) ist eine Matrix, in der [...]
A: die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).
Back Extra: \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \textcolor {red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ \textcolor {red}{a_i\neq 0} \]
Type: Definition
Number: 06.25
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Topic: Matrizen

Q: Die Pivot-Elemente („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind [...]
A: jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.
Back Extra: \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \textcolor {red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
\[ \text{Pivot-Elemente: } \textcolor {red}{a_1, a_2, a_3 \, (\neq 0)} \]
Type: Definition
Number: 06.25
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Topic: Matrix

Q: Eine Matrix in Zeilennormalform (ZNF) ist eine Matrix in [...], für die zusätzlich gilt:
1. [...]
2. [...]
A: Zeilenstufenform; Jedes Pivot-Element ist \(1\).; Oberhalb jedes Pivot-Elements stehen nur Nullen.
Back Extra: \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 & \textcolor {red}{1} & \blacksquare & \textcolor {red}{0} & \blacksquare & \blacksquare & \textcolor {red}{0} & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{1} & \blacksquare & \blacksquare & \textcolor {red}{0} & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor {red}{1} & \blacksquare & \blacksquare \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]
Type: Definition
Number: 06.25
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix in Normalform ist eine Matrix der folgenden Gestalt: [...]
A: \[ \begin{pmatrix} \mathbf{1}_r & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix} \]
Back Extra: (\(\mathbf{1}_r = \) Einheitsmatrix (quadratisch)
\( \mathbf{0} = \) Nullmatrix beliebiger Größe)
Type: Definition
Number: 06.25
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Jede Matrix lässt sich durch [...] auf Zeilennormalform bringen.
A: Zeilentransformationen
Type: Satz
Number: 06.26
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Jede Matrix lässt sich durch [...] auf Normalform bringen.
A: Zeilen- und Spaltentransformationen
Type: Satz
Number: 06.26
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich [...]
A: der Anzahl der Pivot-Elemente.
Type: Rezept
Number: 06.27
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Die Transponierte einer Matrix erhält man durch [...]
A: Vertauschen von Zeilen und Spalten.
Back Extra: \[ \begin{pmatrix} a_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1& c_2& c_3& c_4\\ \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\\ a_4& b_4& c_4 \end{pmatrix} \]
Type: Definition
Number: 06.30
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Topic: Matrizen

Q: Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\((A\cdot B)^T =\) [...]
A: \(B^T \cdot A^T\)
Type: Notiz
Number: 06.31
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Topic: Matrizen

Q: Der Spaltenrang einer Matrix ist [...]
A: die Dimension des Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.
Type: Definition
Number: 06.32
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Topic: Matrizen

Q: Der Zeilenrang einer Matrix ist [...]
A: die Dimension des Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.
Type: Definition
Number: 06.32
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Topic: Matrizen

Title: Rangsatz für Matrizen
Q: [...]
A: Für jede Matrix ist Rang = Zeilenrang = Spaltenrang.
Type: Satz
Number: 06.33
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Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix hat vollen Zeilenrang, wenn [...]
A: ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
Type: Definition
Number: 06.34
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Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix hat vollen Spaltenrang, wenn [...]
A: ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
Type: Definition
Number: 06.34
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Eine Matrix hat vollen Rang, wenn ihr Rang maximal, also gleich [...]
A: der Zahl ihrer Spalten oder ihrer Zeilen ist.
Type: Definition
Number: 06.34
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Topic: Matrizen

Title: Invertierbarkeitskriterium
Q: Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn [Rang]
A: sie vollen Rang hat.
Type: Satz
Number: 06.35
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Topic: Matrizen

Q: Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\mathbf{v}_1,\dots ,\mathbf{v}_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen [...]rang besitzt.
A: Spalten
Back Extra: Zum Beispiel sind die Spalten von
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 2 & 8 & 0\\ 0 & 0 & 9\\ 7 & 30 & 0 \end{pmatrix} \]
linear unabhängig in \(\mathbb {R}^6\).
Type: Satz
Number: 06.36
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\mathbf{v}_1,\dots ,\mathbf{v}_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen [...]rang besitzt.
A: Zeilen
Back Extra: Zum Beispiel liefern die Spalten von
\[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8\\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 1 \end{pmatrix} \]
ein Erzeugendensystem von \(\mathbb {R}^3\).
Type: Satz
Number: 06.36
Other fields (not shown on cards):
Topic: Matrizen

Q: Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\mathbf{v}_1,\dots ,\mathbf{v}_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann eine Basis, wenn es aufgefasst als Matrix [...]
A: invertierbar ist.
Back Extra: äquivalent: …wenn es als Matrix vollen Rang hat.
Type: Satz
Number: 06.36
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Topic: Matrizen

Title: Basiswechsel
Q: Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[ \underbrace{(\mathbf{b}_1,\dots ,\mathbf{b}_n)}_B \text{ bzw. } \underbrace{(\mathbf{c}_1,\dots ,\mathbf{c}_m)}_C \]
geordnete Basen von \(V\) bzw. \(W\). Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung: [...]
A: \[ f(\mathbf{b}_k) = \sum _i m_{ik} \mathbf{c}_i \]
Type: Satz
Number: 07.04

Title: Leibnizformel
Q: Die Determinante einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in \operatorname{Mat}_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\(\det (A) =\) [...][...]\(\cdot \)[...]
A: \(\sum _{\sigma \in S_n}\); \(\mathrm{sign}(\sigma )\); \(a_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)}\)
Type: Determinante
Number: 08.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Definition

Q: \(\det (A^T) =\) [...]
A: \(\det (A)\)
Type: Notiz
Number: 08.03
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Topic: Determinante

Title: Charakterisierung der Determinante
Q: Die Determinante ist die einzige Abbildung
\[ \operatorname{Mat}_K(n\times n)\to K, \]
die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
1. Die Determinante ist [...] in den Zeilen.
2. Die Determinante ist [...] in den Zeilen.
3. Die Determinante ist [...]
A: multilinear; alternierend; normiert in dem Sinne, dass gilt: \(\det (\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
Type: Satz
Number: 08.04
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Topic: Determinante

Q: Dass die Determinante multilinear in den Zeilen ist, bedeutet:
\( \det \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j-1}\\ s\mathbf{a} + t\mathbf{b}\\ \mathbf{a}_{j+1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} = \) [...]
A: \( s\det \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j-1}\\ \mathbf{a}\\ \mathbf{a}_{j+1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} + t\det \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j-1}\\ \mathbf{b}\\ \mathbf{a}_{j+1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{pmatrix} \)
Back Extra: (Hier sind \(\mathbf{a}_i\), \(\mathbf{a}\), \(\mathbf{b}\) Zeilenvektoren; \(s, t\) Skalare.)
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Dass die Determinante alternierend in den Zeilen ist, bedeutet per Definition: [...]
A: \(\det (A) = 0\) sobald zwei Zeilen von \(A\) gleich sind.
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation \(\sigma \) der Zeilen:
\(\det \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{\sigma (1)} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{\sigma (n)}\end{pmatrix} =\) [...]
A: \(\mathrm{sign}(\sigma )\cdot \det \begin{pmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n\end{pmatrix}\)
Back Extra: (Hier sind \(\mathbf{a}_i\) Zeilenvektoren.)
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte hinzu, so ändert sich die Determinante [...]
A: nicht.
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), so ändert sich die Determinante [...]
A: genau um diesen Faktor.
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Vertauschen wir zwei Zeilen/Spalten, so ändert sich die Determinante [...].
A: um ein Vorzeichen
Type: Satz
Number: 08.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Title: Multiplikationssatz
Q: Für \(A,B \in \operatorname{Mat}_K(n\times n)\) gilt:
\(\det (A\cdot B) =\) [...]
A: \(\det A \cdot \det B\)
Type: Satz
Number: 08.07
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Topic: Determinante

Title: Invertierbarkeitskriterium (Determinante)
Q: Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det (A)\) [...]
A: \(\neq 0\).
Type: Korollar
Number: 08.08
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\(\det (A^{-1}) =\) [...]
A: \(\det (A)^{-1}\)
Type: Korollar
Number: 08.08
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Die Adjungierte \(A^\# \) einer quadratischen Matrix \(A\) hat in Zeile \(i\) und Spalte \(j\) den Eintrag
\((-1)^{i+j}\)\(\det (A_{\# j,i})\),
wobei wir \(A_{\# j,i}\) aus \(A\) erhalten, indem wir Zeile \(j\) und Spalte \(i\) streichen.
Back Extra: Transposition beachten – \((i,j)\) wird zu \((j,i)\)!
Type: Definition
Number: 08.10
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Title: Geschlossene Formel für inverse Matrix
Q: \(A^{-1} =\) [...]
A: \(\frac{1}{\det {A} } \cdot A^\# \)
Type: Korollar
Number: 08.12
Other fields (not shown on cards):
Topic: Determinante

Q: Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind äquivalent, wenn es [...] Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit [...]
A: invertierbare; \[ A' = S^{-1} A T. \]
Type: Definition
Number: 09.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind ähnlich, wenn es eine [...] Matrix \(T\) gibt mit [...]
A: invertierbare; \[ A' = T^{-1} A T. \]
Type: Definition
Number: 09.01
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist diagonalisierbar, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_BM_{B}(f)\) [...]
A: eine Diagonalmatrix ist.
Type: Definition
Number: 09.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, falls sie [...] ist zu einer Diagonalmatrix.
A: ähnlich
Type: Definition
Number: 09.04
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Ein Eigenwert von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor [...] existiert, der [...]
A: \(\mathbf{v}\neq 0\); von \(f\) mit \(a\) skaliert wird.
Back Extra: \[ f(\mathbf{v}) = a \cdot \mathbf{v} \]
Type: Definition
Number: 09.05
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Sei \(f\colon V\to V\) Endomorphismus.
Ein Eigenvektor zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\mathbf{v}\neq 0\), der [...]
A: von \(f\) mit \(a\) skaliert wird.
Back Extra: \[ f(\mathbf{v}) = a \cdot \mathbf{v} \]
Type: Definition
Number: 09.05
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Sei \(f\colon V\to V\) Endomorphismus.
Der Eigenraum von \(f\) zu \(a\) ist der Untervektorraum
\(\mathrm{Eig}(f;a) :=\) [...]
A: \(\left\{ \mathbf{v}\in V \; \middle \vert \; f(\mathbf{v}) = a\cdot \mathbf{v}\right\} \)
Type: Definition
Number: 09.05
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium
Q: Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn der Vektorraum [...]
A: in die Eigenräume von \(f\) zerfällt.
Type: Satz
Number: 09.10
Other fields (not shown on cards):
Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Geometrisches Diagonalisierbarkeitskriterium
Q: Ein Endomorphismus \(f\) eines endlich-dimensionalen Vektorraums \(V\) ist genau dann diagonalisierbar, wenn \(\dim V\) [...]
A: gleich der Summe der Dimensionen der Eigenräume ist.
Type: Satz
Number: 09.10
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Die Determinante eines Endomorphismus \(f\) ist [...]
A: die Determinante einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
Type: Definition
Number: 09.11
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Das charakteristische Polynom einer quadratischen \(n\times n\)-Matrix \(A\) ist
\(\chi _A :=\) [...]\(\in K[X]\).
A: \(\det \left(A-\begin{pmatrix} X & 0 & \dots & 0\\ 0 & X & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0\\ 0 & \dots & 0 & X\end{pmatrix}\right)\)
Type: Definition
Number: 09.13
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Das charakteristische Polynom eines Endomorphismus \(f\) ist [...]
A: das charakteristische Polynom einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
Back Extra: Explizit:
\[ \chi _f := \det \left({}_B M_B(f)-X\cdot \mathbf{1}\right) \in K[X], \]
wobei \(\mathbf{1}\) die Einheitsmatrix ist.
Type: Definition
Number: 09.13
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Definition
Q: Die Spur einer quadratischen Matrix ist [...]
A: die Summe der Einträge auf der Diagonale.
Back Extra: \[ \mathrm{tr}((a_{ij})_{ij}) := \sum _i a_{ii} \]
Number: 09.18
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Die Spur eines Endomorphismus \(f\) ist [...]
A: die Spur einer darstellenden Matrix \({}_B M_B(f)\), für eine beliebige Basis \(B\).
Type: Definition
Number: 09.18
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Was charakterisiert das charakteristische Polynom?
Q: [...]
A: Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms \(\chi _f\) sind genau die Eigenwerte von \(f\).
Type: Definition
Number: 09.16
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die [...]
A: Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle des charakteristischen Polynoms.
Type: Definition
Number: 09.21
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Q: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist die [...]
A: Dimension des zugehörigen Eigenraums.
Type: Definition
Number: 09.21
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Vielfachheitsungleichung
Q: Für jeden Eigenwert gilt:
\(\begin{matrix} \text{geometrische}\\ \text{Vielfachheit}\end{matrix}\) [...] \(\begin{matrix} \text{algebraische}\\ \text{Vielfachheit}\end{matrix}\)
A: \(\leqslant \)
Type: Satz
Number: 09.22
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Vielfachheitsungleichung
Q: Für jeden Eigenwert gilt:
\(\begin{matrix} \text{algebraische}\\ \text{Vielfachheit}\end{matrix}\) [...] \(\begin{matrix} \text{geometrische}\\ \text{Vielfachheit}\end{matrix}\)
A: \(\geqslant \)
Type: Satz
Number: 09.22
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Topic: Diagonalisierbarkeit

Title: Algebraisches Diagonalisierbarkeitskriterium
Q: Ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen Vektorraums ist genau dann diagonalisierbar, wenn
1. [...], und
2. [...]
A: das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt; für jeden Eigenwert die geometrische mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt.
Type: Satz
Number: 09.23
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Topic: Diagonalisierbarkeit