Seminar
“Kompakte Lie-Gruppen”

(SoSe 2025)

bei Prof. Dr. Kai Köhler


Lie-Gruppen sind Mannigfaltigkeiten mit einer Gruppen-Struktur, bei der die Gruppenoperationen differenzierbare Abbildungen sind, wie z.B. SO(n). Sie wurden ca. 1870 unabhängig voneinander von Sophus Lie zur Untersuchung von Symmetrien in Differentialgleichungen und von Wilhelm Killing zum Studium nicht-euklidischer Geometrien eingeführt. Im Seminar sollen die (endlich dimensionalen) Darstellungen kompakter Lie-Gruppen untersucht werden, d.h. ihre Operationen auf Vektorräumen. Diese können sehr elegant klassifiziert werden. Dann werden die zugehörigen Lie-Algebren und ihre Klassifikation besprochen.

Das Seminar wendet sich an Studierende der Mathematik oder Physik.

Die Vorbesprechung fand am Montag, dem 7.4.2025, um 16:30 Uhr im Raum 25.22.O3.73 statt. Es sind noch Vorträge zu vergeben; wenden Sie sich bei Interesse bitte an mich.

Termin: ab 14.4.2025 Mo. 14:30-16:00, Raum 25.22.O2.81.
Bitte melden Sie sich im LSF an.
Jeder Teilnehmer muss seinen Vortrag mindestens einmal mit mir besprechen und zwar mindestens eine Woche, bevor er ihn hält. Bei dem Gespräch eine Woche vorher muss der Vortrag bereits vollständig ausgearbeitet sein und die Zeitplanung durchdacht sein. Vorher können Sie sich natürlich auch beliebig oft bei der Vortragsvorbereitung beraten lassen. Bitte kontaktieren Sie mich rechtzeitig, um einen Gesprächstermin zu vereinbaren.
Wie halte ich einen Seminarvortrag? Wie halte ich einen gelungenen Seminarvortrag?

Literatur:
 Die Literatur ist als ebook verfügbar.
T. Bröcker, T. tom Dieck, Representations of Compact Lie Groups, GTM 98, Springer.
K. Köhler, Differentialgeometrie und homogene Räume (2. Auflage), Springer 2019.
J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer.
F. W. Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer.
W. Fulton, J. Harris, Representation Theory, GTM 129, Springer.


Betreuung:

Prof. Dr. Kai Köhler, Raum 25.22.03.58, Tel. 81-12191, koehler@math.uni-duesseldorf.de

Aus folgender Liste der Vorträge können Sie sich schon überlegen,welche Themen Ihnen am meisten zusagen würden:

Thema Kapitel in Bröcker-tom Dieck zusätzliche Literatur
1 Lie-Gruppen und links-invariante Vektorfelder I.1, I.2 K. 1.2, 1.3, 1.4 Warner p. 82
2 Exponentialabbildung I.3 K. 1.5, 1.6 Warner p. 102
3 Homogene Räume I.4 K. 6.4 Warner p. 120
4 Haarsches Maß I.5 Warner p. 151
5 Definition von Darstellungen, Lemma von Schur II.1

6 Induzierte Darstellungen und Charaktere II.3, II.4

7 Beisp.: Darstellungen von SO(3) II.5

8 Gewichte und Lie-Algebren II.8, II.9 Humphreys III.13, VI.20
9 Weyl-Gruppen, maximale Tori IV.1 Humphreys III.10
10 R(G) und R(T)^W IV.2

11 Klassische Beispiele IV.3

12 Wurzeln V.1 Humphreys II.8
13 Weyl-Kammern V.2 Humphreys III.10
14 Wurzel-Systeme V.3 Humphreys III.9
15 Basen V.4 Humphreys III.10

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