Thema
In der geometrischen Gruppentheorie geht es darum, geometrische Einsichten über Gruppen herauszuarbeiten und - ergänzend zu den üblichen algebraischen Methoden - zu nutzen. Viele Gruppen, wie zum Beispiel Transformationsgruppen, wirken in natürlicher Weise auf geometrischen Objekten. Zudem läßt sich jede Gruppe - über die Betrachtung des einem Erzeugendensystem zugeordeneten Cayley-Graphens und ggf. eines weiteren Grenzwertprozesses - mit einer intrinsischen geometrischen Struktur versehen. Das Seminar vermittelt einen Einstieg in die kombinatorische und geometrische Gruppentheorie auf vergleichsweise elementarem Niveau.
- Wir erarbeiten uns in Einzelvorträgen ausgewählte Kapitel aus dem Buch Groups, Graphs and Trees - An Introduction to the Geometry of Infinite Groups von J. Meier, welches aus einführenden Vorlesungen zu dem Themengebiet entstanden ist. In dem Buch werden fortlaufend konkrete Beispiele besprochen, an denen sich die allgemeine Theorie schön festmachen läßt. Insbesondere beleuchten wir in dem Seminar die folgenden Themen: ebene Spiegelungsgruppen, freie Gruppen und Gruppenwirkungen auf Bäumen, sowie das Dehnsche Wortproblem und passende Grundlagen für eine algorithmische Herangehensweise.
Neben allgemeinen Vorkenntnissen aus den Grundvorlesungen des Bachelrostudiums ist es vorteilhaft, die Einführung in die Gruppentheorie erfolgreich besucht zu haben. (Ergebnisse aus der Topologie oder Geometrie werden in der Darstellung von Meier dagegen kaum vorausgesetzt.) Entsprechend richtet sich das Seminar vorrangig an Studierende im fortgeschrittenen Bachelorstudium. Da das Buch von Meier zahlreiche weiterführende Anregungen enthält, kann das Seminar durchaus auch für Studierende höheren Semesters als Zusatzveranstaltung interessant sein.