Aktuelles

07.10.2025   Die Vorlesung beginnt am 14.10.2025.

Inhalt

In diesem ersten Teil des Zyklus Partielle Differentialgleichungen I, II geht es vorwiegend um die Behandlung der großen Klasse der Evolutionsgleichungen. Diese dienen zur Beschreibung von zeitabhängigen Prozessen in den Naturwissenschaften wie z.B. Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Psychologie, Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften. Beispiele für Evolutionsgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung, die Wellengleichung, die Navier-Stokes Gleichung, die Black Scholes Gleichung oder Populationsgleichungen. In der Vorlesung soll die Behandlung solcher Gleichungen durch die Einführung und Anwendung eines leistungsstarken Konzepts, der sogenannten Theorie der Operatorhalbgruppen vorgestellt werden. Hierzu wird die zugrundeliegende Evolutionsgleichung als gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeit t in einem Banachraum (z.B. L²(ℝⁿ)) aufgefasst. Durch Anwendung von halbgruppentheoretischen Resultaten erhält man somit z.B. für die Wärmeleitungsgleichung u'(t)=Δu(t), u(0)=u₀ die elegante Lösungsdarstellung u(t)=exp(tΔ)u₀ mit der sogenannten Wärmeleitungshalbgruppe (exp(tΔ))_t≥0. Beachte: Ersetzt man den Laplaceoperator Δ durch eine Matrix A ist diese Darstellung aus der Grundvorlesung über gewöhnliche Differentialgleichungen bekannt. Die Theorie der Operatorhalbgruppen beschäftigt sich also u.a. mit der Frage inwieweit sich diese Darstellung für Matrizen unbeschränkte Operatoren in Banachräumen (wie z.B. Δ in L²(ℝⁿ)) verallgemeinern lässt. Die Vorlesung richtet sich an Studierende im Masterstudium. Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sind sehr wünschenswert. Grundkenntnisse über partielle Differentialgleichungen sind hilfreich aber nicht unbedingt notwendig.

Vorlesung

Die vierstündige Vorlesung bildet den Hauptteil der Veranstaltung. Es wird ein wöchentlich aktualisiertes Skript zur Verfügung gestellt. Dieses kann im entsprechenden Verzeichnis zur Veranstaltung im Ilias heruntergeladen werden.

Übung

Zu dieser Veranstaltung werden Übungen angeboten. Die Übungsaufgaben dienen der Einübung des Lehrstoffes und der Vorbereitung auf die Prüfung und sind ein wichtiger Teil der Lehrveranstaltung. Für die Bearbeitung der Aufgaben ist die Kenntnis des in der Vorlesung behandelten Stoffes erforderlich.

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