Publikum
Die Vorlesung richtet sich primär an Hörer, die bereits eine Einführung in die Topologie gehört haben, und Interesse an den weiterführenden Vorlesungen zu algebraischer Topologie (Topologie I & II) oder algebraischer Geometrie haben. Sie ist aber in sich abgeschlossen. Die Einführung in die Topologie wird (nur) insoweit vorausgesetzt, als dass sie viele wichtige Beispiele liefern wird.
Inhalt
Die Vorlesung umfasst grob vier Themenkomplexe: Kategorientheorie, Modultheorie, derivierte Funktoren und Spektralsequenzen. Die Kategorientheorie bietet eine hilfreiche Vogelperspektive auf weite Teile der modernen Mathematik. Dieser Teil der Vorlesung wird viel Bekanntes in ein neues Licht rücken und fast vollständig aus Beispielen bestehen. Moduln über einem Ring sind eine konzeptionelle Verallgemeinerung von abelschen Gruppen und von Vektorräumen. Urpsrünglich wurde die homologische Algebra vollständig im Kontext der Modultheorie entwickelt, und erst später im Rahmen der leicht allgemeineren Theorie abelscher Kategorien neu gefasst. Mit den derivierten Funktoren kommen wir zur eigentlichen homologischen Algebra und zum theoretischen Kern der Vorlesung. Spektralsequenzen, mit denen wir uns im letzten kurzen Abschnitt befassen, sind eigentlich ein Rechenwerkzeug. Wir werden sie in erster Linie nutzen, um eine entscheidende Beweislücke in unserer Behandlung derivierter Funktoren aufzufüllen. Die Inhalte der letzten beiden Themenkomplexe werden sich an meiner früheren Vorlesung zu diesem Thema orientieren.
Vorläufige Terminübersicht
Die ersten beiden Themenkomplexe — Kategorientheorie und Modultheorie — werden in der zeitlichen Abfolge ineinander verwoben sein. Die folgende Übersicht unternimmt den Versuch, dies durch Einrückung aller Abschnitte zum Thema Moduln abzubilden.
| 1. | Mo | 08.04. | Motivation & Übersicht | ||
| 2. | Do | 11.04. | Kategorientheorie | ||
| 3. | Mo | 15.04. | Kategorien | ||
| 4. | Do | 18.04. | Modultheorie | ||
| 5. | Mo | 22.04. | Test 1 | Moduln | |
| 6. | Do | 26.04. | Moduln über Hauptidealringen Kategorienäquivalenz | ||
| 7. | Mo | 29.04. | natürliche Transformationen | ||
| 8. | Do | 02.05. | Yoneda-Lemma | ||
| 9. | Mo | 06.05. | Universelle Eigenschaften, (Ko-)Produkte | ||
| Do | 09.05. | — gesetzlicher Feiertag — | |||
| 10. | Mo | 13.05. | Test 2 | Limiten & Kolimiten | |
| 11. | Do | 16.05. | Tensorprodukt von Moduln | ||
| Mo | 20.05. | — gesetzlicher Feiertag — | |||
| 12. | Do | 23.05. | Adjunktionen | ||
| 13. | Mo | 27.05. | Adjunktionen | ||
| Do | 30.05. | — gesetzlicher Feiertag — | |||
| 14. | Mo | 03.06. | Kettenkomplexe | ||
| 15. | Do | 06.06. | Test 3 | Abelsche Kategorien | |
| 16. | Mo | 10.06. | Abelsche Kategorien | ||
| 17. | Do | 13.06. | Beispiele für (halb)exakte Funktoren | ||
| 18. | Mo | 17.06. | Derivierte Funktoren linksderivierte Funktoren | ||
| 19. | Do | 20.06. | Tor universelle δ-Funktoren | ||
| 20. | Mo | 24.06. | Test 4 | rechtsderivierte Funktoren | |
| 21. | Do | 27.06. | rechtsderivierte Funktoren Ext | ||
| 22. | Mo | 01.07. | Ext | ||
| 23. | Do | 04.07. | Gruppen(ko)homologie | ||
| 24. | Mo | 08.07. | Spektralsequenzen | ||
| 25. | Do | 11.07. | Spektralsequenzen | ||
| 26. | Mo | 15.07. | Spektralsequenz eines filtrierten Komplexes | ||
| 27. | Do | 18.07. | Anwendungen | Do | 22.08. | Klausur | Mo | 16.09. | Nachklausur |
Klausurzulassung
Das Modul wird durch eine schriftliche Prüfung abgeschlossen. Die Zulassung zu dieser Prüfung erwerben Sie, indem Sie in vier kurzen schriftlichen Tests im Schnitt mindestens 50% der Punkte erreichen. Diese Tests werden während der Vorlesungen stattfinden. Die Termine der Tests und der Klausur sind oben angegeben.
Literatur
| [Awo] | Steve Awodey, Category Theory |
| [McL] | Saunders MacLane, Categories for the working mathematician (ULB) |
| [Wei] | Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra (ULB) |
| [Rot] | Joseph J. Rotman, An introduction to homological algebra (ULB) |