Inhalte
Die Vorlesung orientiert sich am folgenden Schema. Die Verweise beziehen sich auf die Literaturangaben unten auf dieser Seite.
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Mengen
- Mengen, Teilmengen, Konstruktionen [J: §1.1] [B: §1.1]
- Abbildungen [J: §1.2] [B: §1.1]
- Kardinalität
- Äquivalenzrelationen [B: §2.2 Def. 3 und Satz 4]
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Gruppen
- Gruppen, Homomorphismen [B: §1.2]
- Quotientengruppen
- symmetrische Gruppe [J: §6.8] [B: §4.1]
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Ringe und Körper
- Ringe, Körper [J: §2.5] [B: §1.4]
- Primkörper
- komplexe Zahlen [J: §2.2, §2.7],
- Polynomringe [B: §5.1 bis vor Def. 5, §5.2 bis einschließlich Satz 2, §5.3]
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Vektorräume
- Vektorräume, Untervektorräume [J: §§2.1–2.3] [B: §1.4]
- Schnitte und interne Summen, lineare Hülle [B: §1.4]
- lineare Abbildungen [J: §4.1]
- direkte Summen, Produkte, [B: §1.6 bis vor Satz 4]
- Quotienten [J: §4.4] [B: §2.2]
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Basen
- Erzeugendensysteme, lineare Unabhängigkeit, Basen [J: §3.1] [B: §1.5 bis einschließlich Satz 7]
- Hauptsatz Teil I
- Basiswahl- und ergänzung [J: §3.2 + §3.4] [B: §1.5 Satz 8 + Thm 9]
- Dimensions- und Rangformeln [J: §3.2 Satz 3 + §4.1 Dimensionsformel], [B: §1.5 Kor. 14 + §2.1 Satz 10]
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Matrizen I (Standardbasis)
- Hauptsatz Teil II
- Gaußalgorithmus [J: §7.3] [B: §3.2]
- Rezept: Rang bestimmen [J: §5.3] [B: §3.2]
- Rezept: lineares Gleichungssystem lösen [J: §7.3] [B: §3.5]
- Rezept: Matrix invertieren, Linksinverse finden [J: §5.5]
- Zeilenrang versus Spaltenrang [J: §5.2] [B: §3.2]
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Matrizen II (beliebige Basen)
- Basiswechsel
- Basiswechsel
- Die Determinante [J: §6]
- Eigenwerte- und Vektoren
- Das charakteristische Polynom [J: §9.2]
- Eigenwerte- und Vektoren [J: §§9.1 + 9.2]
- Diagonalisierbarkeit
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Skalarprodukte
- Bilinearformen und Sesquilinearformen [B: §7.1 bis Def. 3 + §7.3 bis Kor. 3]
- Euklidische und unitäre Vektorräume [B: §7.1 ab Satz 4 + §7.2 bis Kor.&nbps;8] [J: §§8.1 + 8.2]
- Isometrien [B: §7.5] [J: §§8.3 + 8.4]
- Hauptachsentransformation [B: §7.6 bis Kor. 4 (nur euklidischer Fall)] [J: §§10.2 + 10.3]
- ☆ Der Freundschaftssatz [AZ: proof 43]
Karteikarten
Die wichtigsten Definitionen und Sätze der Vorlesung werden nach und nach auf virtuellen Karteikarten zusammengefasst. Sie sollen Ihnen helfen, die Zeit zu minimieren, die sie mit Nachschlagen und Auswendiglernen verbringen. Erfolgversprechend ist dies natürlich nur dann, wenn Sie die gewonnene Zeit auch nutzen, um mit den Begriffen zu arbeiten und sie anzuwenden, sie also zusätzlich in die Bearbeitung der Übungsaufgaben investieren.
Um mit den virtuellen Karteikarten lernen zu können, benötigen Sie das Programm Anki. Hier finden Sie Installationsanleitungen für diverse Betriebssysteme inklusive iOS/Android. (Die iOS-Version ist als einzige kostenpflichtig.) Wenn Sie vor der Installation schon einmal sehen wollen, wie die Karteikarten in etwa ausschauen, finden Sie hier eine Vorschau.
Nach der Installation sieht der ideale Ablauf folgendermaßen aus:
Sie laden regelmäßig das aktuelle Deck LinACards.apkg herunter. Sie importieren dieses Deck in Ihre Anki-Sammlung, indem Sie im Anki-Menü auf File / Import… gehen und dann im Dialogfenster die soeben heruntergeladene Datei auswählen.
Sie gehen täglich mit Anki die Karten durch. Je besser Sie den Inhalt einer Karte behalten, desto seltener wird Anki Ihnen diese Karte zeigen.
Wenn Ihnen Anki gefällt, können Sie Karteikarten auch für andere Kurse leicht selbst erstellen. Für Text- oder HTML-basierte Karten geht das ganz einfach in Anki selbst. Die Karteikarten für die lineare Algebra sind etwas aufwendiger mit Hilfe des Textsatzsystems LaTeX gesetzt. Hier finden Sie dazu eine detaillierte Anleitung.
Literatur
[J] Klaus Jänich, Lineare Algebra (hübsch geschrieben und „minimal“)
[B] Siegfried Bosch, Lineare Algebra
[F] Gerd Fischer, Lineare Algebra
[L] Serge Lang, Algebra (Englisch; geht weit über den Vorlesungsstoff hinaus)
[AZ] Martin Aigner und Günter Ziegler, Proofs from THE BOOK