Vorlesungsreihe Topologie I & II
Sommersemester 2015 & Wintersemester 2015/16
Themen
Die Vorlesungsreihe Topologie folgt im wesentlichen Mays „concise course“. Die drei großen Themenblöcke lauten somit höhere Homotopiegruppen, Homologie und Kohomologie, und zwar in dieser etwas unüblichen Reihenfolge. Bei ausreichendem Interesse wird sich im Sommersemester 2016 eine zweistündige Vorlesung oder ein Seminar über Vektorbündel, charakteristische Klassen und K-Theorie anschließen.
Topologie I
- §0: Einführung
- Grundlagen
- §1: Kategorien und Funktoren
- §2: Universelle Eigenschaften
- §3: Abbildungsräume
- §4: Schwach-Hausdorff-Räume
- Homotopietheorie
- §5: Kofaserungen
- §6: Faserungen
- §7: Faser- und Kofasersequenzen
- §8: Höhere Homotopiegruppen
- §9: Zellkomplexe
- §10: Freudenthalscher Einhängungssatz
- Homologie
- §11: Rudimentäre homologische Algebra
- §12: Zelluläre Homologie
Topologie II
- §0: Einführung
- Homologie
- §1: Homologische Algebra (Wdh)
- §2: Zelluläre Homologie (Wdh)
- §3: Axiomatische Homologie
- §4: Hurewicz-Isomorphismus
- §5: Eindeutigkeit gewöhnlicher Homologietheorien
- §6: Simpliziale Homologie
- §7: Singuläre Homologie
- §8: Künneth- & Koeffizienten-Theorem
- Kohomologie
- §9: Axiomatische Kohomologie
- §10: Zelluläre Kohomologie
- §11: Cup-Product
- §12: Künneth- & Koeffizienten-Theorem
- §13: Beispiele & Borsuk-Ulam
- Poincaré-Dualität
- §14: Aussagen und Beispiele
- §15: Cap-Produkt
- §16: Orientierbarkeit
- §17: Zwei Beiweisskizzen
- Anhang: Algebra
- A1: Moduln
- A2: Tensorprodukte und Tor
- A3: Hom und Ext
Literatur
Die Vorlesung lehnt sich, wie oben bereits erwähnt, eng an Mays Concise Course in Algebraic Topology an. Zum Selberlesen und -anschauen sehr viel besser geeignet ist Hatchers Bilderbuch. Daneben eignet sich auch die reich illustrierte Neuerscheinung Elementary Applied Topology von Ghrist zum gelegentlichen Schmökern, Über-den-Tellerrand-schauen oder Motivationstanken.
Raoul Bott und Loring W. Tu, Differential forms in algebraic topology (Springer 1995)
Tammo tom Dieck, Topologie (de Gruyter 2000)
Robert Ghrist, Elementary Applied Topology (Createspace 2014)
Allen Hatcher, Algebraic Topology (Cambridge University Press 2002)
Gerd Laures und Markus Szymik, Grundkurs Topologie (Spektrum 2009)
Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician (Springer 1978)
Jon Peter May, A concise course in algebraic topology (University of Chicago Press 1999)
Norman Earl Steenrod, A convenient category of topological spaces
(Michigan Math. J. Volume 14, Issue 2 (1967), 133—152)