Einführung in die Differentialgeometrie
SoSe 2021


bei Prof. Dr. Kai Köhler


Umfang: 4V+2Ü
Ort & Zeit: Di. 10:30-12:15, Fr. 10:30-12:15, online als "Cisco Webex Meetings"-Webkonferenz.
Beginn: 13.4.2021

Bitte melden Sie sich bis zum 1.4. im LSF an.

Thema: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen im dreidimensionalen Raum. Das heißt, deren Geometrie wird mit Methoden der Analysis untersucht, und entsprechend spielen besonders lokale Eigenschaften wie etwa verschiedene Krümmungsbegriffe eine Hauptrolle. Mit diesen Begriffen werden dann globale Eigenschaften untersucht, z.B. Schranken für die Länge von Wegen auf einer Fläche.
Zunächst werden Kurven in der Ebene und im Raum behandelt werden; eine typische Aussage ist etwa ein Maß für den "Verknotungsgrad" einer geschlossenen Kurve im Raum, das über die Krümmung der Kurve definiert wird.
Der größte Teil der Vorlesung behandelt Flächen: Ihre lokale Geometrie, kürzeste Wege auf Flächen, verschiedene spezielle Flächen wie etwa Drehflächen und Minimalflächen. Es wird z.B. gezeigt, dass sich für geschlossene Flächen das Integral über die (Gauß-)Krümmung bei (stetiger) Verformung der Fläche nicht ändert; falls z.B. die Fläche in etwa die Gestalt eines Torus hat, ist dieses Integral stets Null.
Studierende der Physik bereitet die Vorlesung anschaulich in niedrigen Dimensionen auf den Kalkül vor, der in der allgemeinen Relativitätstheorie (und in der Quantenfeldtheorie) verwendet wird.

Die Vorlesung gehört zum Wahlpflichtbereich Reine Mathematik im Bachelor-Studiengang und eignet sich als Vorbereitung einer Bachelor-Arbeit. Im Winter 2021/22 wird die Vorlesung durch ein Seminar fortgesetzt.

Teilnehmerkreis: Studierende der Mathematik oder Physik ab dem 3. Semester.

Online-Verfahren: Per Cisco Webex Meetings. Sie brauchen keinen eigenen Account bei Cisco. Wenn Sie im LSF angemeldet sind, erhalten Sie von mir rechtzeitig eine Einladung zu einer Webkonferenz mit einem Link und einem Passwort. "Webex Meetings" läuft im Webbrowser. Es gibt auch ein gesondertes Programm, das sie sich herunterladen können und das etwas mehr Funktionen bietet. Auch dafür brauchen Sie keinen Account. Es verbessert tendenziell die Audioqualität, wenn Sie einen Kopfhörer/Ohrstecker an Stelle von Lautsprechern benutzen.
 

Literatur:

K. Köhler: Differentialgeometrie und homogene Räume (online), Springer.
Klingenberg, W.: Eine Vorlesung über Differentialgeometrie, Springer 1973.
do Carmo, M. P.: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen, Vieweg 1983.
Oprea, J.: Differential geometry and its applications, Prentice-Hall 1997.
Bär, C.: Elementare Differentialgeometrie, de Gruyter 2001.

Übungen zur Vorlesung

Leitung: Pascal Teßmer.

Ob es eine mündliche Prüfung oder eine Klausur/Nachklausur geben wird, hängt von den dann gültigen Corona-Regelungen ab. Um zur Prüfung zugelassen zu werden, müssen insgesamt 40% der möglichen Punkte bei den Übungsaufgaben erreicht werden.

Die Abgabe der Übungslösungen muss bis jeweils Freitag, 10:30 als PDF-File an pascal.tessmer@hhu.de erfolgen. Ich empfehle die Erstellung mit LaTeX, aber gescannte handschriftliche Blätter sind auch in Ordnung. Die Scans/Fotos sollten dann natürlich gut lesbar, ohne Rand und gerade ausgerichtet sein. Hier ist ein Deckblatt. Bitte verwenden Sie als Filename das Format "Uebung.[Nummer].[Nachname].pdf" mit einer zweistelligen Nummer und nur ASCII-Zeichen in Ihrem Nachnamen, etwa "Uebung.03.Mueller.pdf". Hier finden Sie Tipps zur Übertragung eigener handschriftliche Inhalte während der Übungsgruppe.
Termin: Mi. 14:30-16:00, online als "Cisco Webex Meetings"-Webkonferenz.
Beginn 14.4.2021.
16.4.2021 23.4.2021 30.4.2021 7.5.2021 14.5.2021 21.5.2021 28.5.2021 4.6.2021 11.6.2021 18.6.2021 25.6.2021 2.7.2021 9.7.2021

M. Lehn's Essay "Wie bearbeitet man ein Übungsblatt?". Sie werden kaum einen professionellen Mathematiker treffen, der diesem Text nicht 100% zustimmt.

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