Mathematik Studium Mathematik Kursmaterialien Sommersemester 2023

Übersicht

Die Topologie befasst sich mit Eigenschaften von Räumen, die erhalten bleiben, wenn man stetige Verformungen zulässt, also Transformationen, die zwar Winkel und Längen verändern können, aber nicht die qualitative "globale" Form. Das hat sich als eine sehr fruchtbare Idee erwiesen, die zu einer reichhaltigen Theorie führt. Wir haben in der "Einführung in die Topologie" die grundlegenden Konzepte dieser Theorie kennengelernt und anschließend in "Topologie I" das Studium der "algebraischen Topologie" begonnen. In "Topologie II" werden wir unsere Kenntnisse weiter vertiefen. Zu Beginn werden wir uns mit Methoden der homologischen Algebra beschäftigen und insbesondere Künneth- und universelle Koeffiziententheoreme beweisen, womit wir weitere Werkzeuge zur Berechnung der Homologie von Räumen zur Verfügung haben. Zur bereits bekannten Homologie gesellt sich dann als dualer Begriff die Kohomologie. Die Kohomologie hat den Vorteil, dass eine natürliche Produktstruktur auf ihr erklärt ist, die sie zu einem graduierter Ring macht. Homologie wird sodann ein Rechtsmodul über diesem Ring. Für Mannigfaltigkeiten beweisen wir den Poincaré-Dualitätsisomorphismus zwischen Homologie und Kohomologie. Hier ergibt sich also aus der Forderung an einen Raum lokal euklidisch zu sein eine globale Symmetrieeigenschaft der Homologie. Mit dem Kurs erhalten Sie Zugang zu einem großen aktuellen Forschungsgebiet mit vielen Möglichkeiten zur Spezialisierung im Hinblick auf Master- und Doktorarbeiten.

Alle Interessierten werden gebeten sich im HIS-LSF zu der Veranstaltung anzumelden.

Upon request, the course can be taught in English.

Vorlesung

Beginn: Mo.,03.04.2023
Zeit/Ort: Mo., 10:30 Uhr - 12:00 Uhr, Raum 25.22.03.73 Do., 10:30 Uhr - 12:00 Uhr, Raum 25.22.03.73
Vorkenntnisse: Empfohlene Voraussetzungen sind die Vorlesungen "Einführung in die Topologie", "Topologie I" und "Algebra". Falls Ihnen Voraussetzungen fehlen und Sie dennoch Interesse an einer Teilnahme haben, melden Sie sich bitte per E-Mail. Wir können dann besprechen, inwieweit eine Belegung trotzdem sinnvoll ist, bzw. wie Sie Inhalte im Selbststudium nachholen können.

Übung

Neben der vierstündigen Vorlesung wird eine zweistündige Übung angeboten und zwar montags, von 08:30-10:00 Uhr in Raum 25.22.03.73.. Der Termin wird in der ersten Vorlesungsstunde abgesprochen. Übungsleiter ist Thor Wittich. Wöchentliche Übungsaufgaben werden hier bereitgestellt. Ihre Lösungen können Sie zu Beginn der Übung abgeben.
Übungsblätter Blatt 1 Blatt 2 Blatt 3 Blatt 4 Blatt 5 Blatt 6 Blatt 7 Blatt 8 Blatt 9 Blatt 10 Blatt 11

Prüfung

Erforderliche Prüfungsvorleistung ist die aktive Teilnahme an der Übung mit erfolgreicher Bearbeitung der wöchentlichen Übungsaufgaben (mindestens 40% der Übungspunkte) und Vorstellen eigener Lösungen. Die Modulprüfung wird mündlich erfolgen. Sie können gegen Ende des Semesters auf der ILIAS-Seite der Veranstaltung einen Termin vereinbaren.

Literatur

Vorlesungsskript: Topologie 2 (83 MB)
G. E. Bredon, Topology and Geometry, Springer Graduate Texts in Mathematics 1993, im Campusnetz als ebook verfügbar auf SpringerLink
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002, ebook durch den Autor bereitgestellt
H. Kammeyer, Introduction to Algebraic Topology, Birkhäuser Springer, Cham 2022, im Campusnetz als ebook verfügbar auf SpringerLink
W. Lück, Algebraische Topologie. Homologie und Mannigfaltigkeiten, Wiesbaden: Vieweg 2005, im Campusnetz als ebook verfügbar auf SpringerLink
J. P. May, A concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, Chicago, IL 1999 ebook durch den Autor bereitgestellt
Vorlesungsskripten der vorherigen Veranstaltungen: Einführung in die Topologie (94 MB) Topologie I (91 MB)

Kontakt

Dozent: Jun.-Prof. Dr. Holger Kammeyer
Übungsleiter: Thor Wittich, M.Sc.