Seminar: Anzahlen endlicher Gruppen

Sommersemester 2020

Lehrstuhl für Algebra und Zahlentheorie
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Praktisches Literatur Vortragsthemen Ablauf Vorgaben
Rhombic tiling In dem Seminar geht es um die grundlegende Frage: Wie viele Gruppen G gibt es - bis auf Isomorphie - zu einer vorgegebenene endlichen Ordnung |G| = n? Anfang der 90er Jahre leitete Laszlo Pyber eine asymptotisch scharfe obere Schranke für diese Anzahlfunktion her; der Beweis beruht unter anderem auf der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen. Untere Schranken, die sich aus der Untersuchung von p-Gruppen ergeben, waren schon seit den 60ger Jahren aus einer klassischen Arbeit von G. Higman bekannt; für p-Gruppen leitete C. C. Sims eine entsprechende, scharfe obere Abschätzung her. Die konrete Fragstellung motiviert in natürlicher Weise verschiedene Untersuchungen zur Struktur- und Erweiterungstheorie endlicher Gruppen; letztere bedient sich elementarer Kenntnisse der Kohomologietheorie.
Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse und -fertigkeiten, die im Regelfall in der Vorlesung "Algebra" sowie der Vorlesung "Einführung in die Gruppentheorie" erworben wurden.
(Die nebenstehende Graphik hat keine tiefere Verbindung zu den Themen des Seminars; sie stammt von Daviv Eppstein's Geometry Junkyard.)
Als Textgrundlagen verwenden wir ausgewählte Kapitel aus dem Buch `Enumeration of Finite Groups' von S. R. Blackburn, P. M. Neumann und G. Venkataraman, welches als Präsenzexemplar in der VB und ebenfalls als E-Book über das Uni-Netz verfügbar ist.
Die Vorträge sind so ausgewählt, dass sich bei entsprechendem Interesse jeweils Möglichkeiten zur weiteren Vertiefung im Rahmen einer Bachelor- oder ggf. auch Master-Arbeit anbieten.

Seminar: Anzahlen endlicher Gruppen

Aktuelles:
Änderungen des Modus der Veranstaltung aufgrund der Coronavirus-Pandemie: Anstelle von Präsenzvorträgen tritt als Leistungsnachweis (a) eine handschriftliche Vortragsunterlage und (b) eine schriftliche Ausarbeitung des Themas.
Die studientechnische Anrechnung der Veranstaltung ist davon unberührt.
Beginn:
Montag, 20.04.2020
Zeit/Ort:
wöchentlich; Mo. 16:30-18:00 Uhr
Inhalt:
Ausgewählte Themen der Gruppentheorie; s.o.
Selbständiges Erarbeiten von mathematischen Texten und schriftliche Präsentation des Gelernten.
Voraussetzungen:
Vorlesungen "Algebra" und "Einführung in die Gruppentheorie"
Leistungsnachweis:
handschriftliche Vortragsunterlage, schriftliche Ausarbeitung.
Veranstalter:
Gebäude 25.22, Raum 03.37
Sprechstunden: Montags um 15:00, bis auf weiteres online. (Wie funktioniert das? Ich bin mit abgeschaltetem Mikrophon und Kamera in der Videoschaltung hinter dem Link und höre einen Signalton, wenn Sie sich verbinden. Dann aktiviere ich meine Eingabegeräte.)

Literatur

Das Seminar folgt im wesentlichen dem Buch von Blackburn, Neumann und Venkataraman.
  • S. R. Blackburn, P. M. Neumann und G. Venkataraman, Enumeration of Finite Groups, CUP, 2007.
  • G. Higman, Enumerating p-groups. I. Inequalities, Proc. London Math. Soc. 10 (1960), 24–30.
  • G. Higman, Enumerating p-groups. II. Problems whose solution is PORC, Proc. London Math. Soc. 10 (1960), 566–582.
  • L. Pyber, Enumerating finite groups of a given order, Ann. Math. 137 (1993), 203-220.
  • C. C. Sims, Enumerating p-groups, Proc. London Math. Soc. 15 (1965), 151–166.

Inzwischen sind alle Vortragsthemen bereits vergeben. Falls Interesse an weiteren Vorträgen besteht, melden sie sich bitte bei Moritz Petschick.

Vortragsthemen und Terminplan

Mo. 06.04.2020 2. Vorbesprechung entfällt aufgrund der Coronavirus-Pandemie
Mo. 13.04.2020 Feiertag: Termin entfällt
Mo. 20.04.2020 M. Petschick Einführung ins Thema und Online-Besprechung. Notizen, Ausarbeitung, .tex-Datei
Mo. 04.05.2020 M. Lassaad p-Gruppen: Grundlagen (II. 3.1 - 3.3) Notizen
Mo. 11.05.2020 C. Katzgrau p-Gruppen: Higmans untere Schranke (II. 3.4 - 4.2) Notizen
Mo. 18.05.2020 M. Petschick p-Gruppen: Sims obere Schranke, ein kurzer Überblick (II. 5.1 - 5.5)
Mo. 25.05.2020 V. Nikolai Sylowsysteme und Fittinguntergruppe (III. 6.1 - 6.2)
Mo. 01.06.2020 Feiertag: Termin entfällt
Mo. 08.06.2020 A. Sato Primitive Permutationsgruppen (III. 6.3)
Mo. 15.06.2020 N. Schaumann Gruppenerweiterungen (III. 7.1)
Mo. 22.06.2020 N. Janssen Gruppenkohomologie (III. 7.2)
Mo. 29.06.2020 T. Niklas Restriktion, Corestriktion und die McIver-Neumann-Schranke (III. 7.3 - 7.4)
Mo. 06.07.2020 M. Agristean Auflösbare Untergruppen in symmetrischen und endlichen linearen Gruppen (III. 10*)
Mo. 13.07.2020 K. Tulchinskaja Pybers Satz - für auflösbare Gruppen (III. 15*)

* In diesen Vorträgen wird auf Resultate aus Vorkapiteln zurückgegriffen, die wir im Seminar nicht im Detail behandeln.

Ablauf

Etwa eine Woche vor dem eigentlichen Vortragstermin: Sie vereinbaren ein Online-Treffen mit mir, bei dem Sie ihre Vortragsplanung vorstellen. (Es wäre gut, wenn es bereits schriftliche Materialien gäbe und Sie diese mir vorher per Mail zusenden.) Wir besprechen Ihre Planung, woraufhin Sie die Vortragsunterlage ausarbeiten.

Zum eigentlichen Vortragstermin: Sie senden mir die fertige Vortragsunterlage zu und wir treffen uns ein zweites Mal per Online-Konferenz. Dabei stellen Sie (kurz) vor, was das Thema Ihres Vortrages ist, danach besprechen wir den Vortrag anhand der Unterlage, als ob Sie ihn gerade gehalten hätten. Danach wird die Unterlage den anderen Teilnehmern bereitgestellt, sodaß diese auf dem vorherigen Vortrag aufbauen können.

Nach dem eigentlichen Vortragstermin: Sie fertigen eine mit LaTeX gesetzte Ausarbeitung ihres Vortragsthemas an. Diese sollte etwa einen Monat nach dem Vortag vorliegen, nachdem alle Schreiben eingegangen sind, werde ich Ihnen dann ein Dokument mit dem gesamten Inhalt des Seminars zusenden. Generell: Sollten andere Teilnehmer Fragen zu ihrer Unterlage haben, wäre es schön diese erst einmal direkt mit dem Autor zu klären. Sie sollten bereit sein, eventuelle Fragen zu beantworten.

Vorgaben für die Schriftstücke

Die Vortragsunterlage ist handschriftlich und hat möglichst etwa die Länge, die Ihre tatsächlichen Vortragsnotizen (für einen 90-minütigen Vortrag) hätten. Das sind erfahrungsgemäß etwa 6 Seiten DIN A4, was natürlich von Ihrer Handschrift abhängt. Versuchen Sie, tatsächlich nur die Inhalte, die in Ihrem Vortrag vorkämen zu notieren, auch wenn es verlockend scheint noch etwas mehr einzubauen. Verwenden Sie Abkürzungen und Stichworte, machen Sie Skizzen und arbeiten Sie die Ideen des Textes heraus.

Die Ausarbeitung soll in „typischem Vorlesungsstil“, also in vollen Sätzen, strukturiert in Definition/Satz/Bewies &c. geschrieben sein. Es bietet sich an kleinere Beweise o.Ä., die im Vortrag nicht vorkommen konnten, nun doch noch einmal auszuarbeiten. Weiterhin sollten eventuelle kleinere „Erklärungslücken“ im Vorlagetext geschlossen werden. Sie können von der Struktur der Vorlage gerne abweichen, insbesondere müssen nur die Themen Ihres Vortrages im Text vorkommen.



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Letzte wesentliche Änderung: 16.04.2020