Themen

Alle Kapitelnummern beziehen sich auf den ersten Teil von "Nonlinear PDEs" von Schneider und Uecker.

1 Lineare, ebene Systeme

2.1.13., 2.1.14 und Abschnitt 2.1.5

Definition der Stabilität und Beispiele in der Ebene

2 Lineare Systeme mit periodischen Koeffizienten

Abschnitt 2.1.6

Satz von Floquet, Monodromie-Matrix, Beispiele

3 Orbiten in der Nähe von Fixpunkten

2.2.9, 2.2.10 und Abschnitt 2.3.1

Definition des Vorwärts- und des Rückwärtsorbits, eindimensionales Phasenporträt, stabile Fixpunkte, Stabilitätskriterium 2.3.4 skizzieren, Satz von Hartmann-Grobmann nur erwähnen

4 Orbiten in der Nähe von periodischen Lösungen

Abschnitte 2.3.2 und 2.3.3

Poincaré-Abbildung, homokline und heterokline Lösungen, Theorem 2.3.19 nur erwähnen

5 Attraktoren

Abschnitte 2.4.1 bis 2.4.3

Grenzmengen und Attraktoren

6 Lyapunov-Funktionen

Abschnitte 2.4.4 und 2.4.5

Poincaré-Bendixson (nur skizzieren), Gradientensysteme, Lyapunov-Funktionen (Theorem .2.4.15 nur zitieren)

7 Potentialtöpfe

2.6.1, 2.6.2 und 2.6.4

Beispiele für Potentialtöpfe und Infektionsausbreitung

8 Beispiele aus der mathematischen Ökologie

2.6.3, 2.6.5 und Excercise 2.19

Räuber-Beute-Modell und Verallgemeinerungen

9 Das Smalesche Hufeisen

Paragraph 2.5

Shift-Dynamik, Smalesches Hufeisen, Silnikovsches Chaos

10 Das Newtonsche Polygon

Nach Fischer: Ebene algebraische Kurven

Newton-Verfahren zur Parametrisierung ebener algebraischer Kurven, Puiseux-Reihen, Beweis nur skizzieren, Zusammenhang zur Untersuchung des kartesischen Blatts in der Analysis II herstellen

11 Bifurkationen

Abschnitte 3.1.1 und 3.1.2

Beispiele von Bifurkationen für ebene Systeme

12 Bifurkationen eines Systems aus der Chemie

Abschnitt 3.3.3 und das, was man aus Abschnitt 3.3 dafür braucht

Proseminarankündigung

Proseminar Dynamische Systeme im Sommersemester 2020

Thema

Thema ist die qualitative Beschreibung von Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen. Die meisten gewöhnlichen Differentialgleichungen können nicht geschlossen gelöst werden. Wir wissen aber aus dem Satz von Picard-Lindelöf, dass es Lösungen gibt. Die Theorie der dynamischen Systeme untersucht beispielsweise, ob es periodische Lösungen gibt, ob sich eine Lösung einer periodischen Lösung annähert, ob es Attraktoren gibt usf.

Literatur

Eine gute Einführung liefert der erste Teil des Buch "Nonlinear PDEs, A Dynamical Systems Approach" von Schneider und Uecker. Der Titel dieses Teils ist "Nonlinear Dynamics in Rd"

Wie weit wir kommen werden, hängt von der Teilnehmerzahl ab.

Anmeldung

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Vorbesprechung

Eine Vorbesprechung findet statt am Freitag, dem 31.01.2020, um 14:30 im Hörsaal 5L. (Die Vorlesung Analysis II, die dort sonst stattfindet, endet am 28.01.)