03.02.2017:
In der Vorlesung nächste Woche Freitag (10.02.17) findet ein Tutorium anstelle der regulären Vorlesung statt. Dort können Fragen zur Vorlesung und zu den Übungen gestellt werden. Desweiteren wird an diesem Tag ein Übungstermin für die Vorlesung "Partielle Differentialgleichungen II" festgelegt, die im kommenden Sommersemester stattfindet.
26.01.2017:
Aufgabe 3 auf Blatt 13 wurde wie angekündigt durch Hinweise ergänzt und etwas vereinfacht.
23.01.2017:
Aufgabe 3 auf Blatt 10 wurde nachträglich abgeändert, da die Holomorphie der Halbgruppe T nicht benötigt wird. Auch in der Lösung, die in der Übung an der Tafel stand, wurde die Holomorphie von T nicht verwendet.
19.01.2017:
Auf Blatt 12 wurde Aufgabe 3 wie angekündigt abgeändert und durch Hinweise ergänzt.
13.01.2017:
Die Termine für die
zweiten Prüfungen stehen nun fest.
16.12.2016:
Blatt 9 wurde nun durch Hinweise ergänzt.
15.12.2016:
Blatt 9 ist nun online. Aufgabe 2 und 3 werden morgen noch durch Hinweise ergänzt.
13.12.2016:
Die Termine für die
Prüfung stehen nun fest.
29.11.2016:
Blatt 6 kann auch in der Übung nächste Woche noch abgegeben werden. Da es scheinbar ein Problem mit dem Zugriff auf Übungsblätter und Skript während des Wochenendes gab, ist die Bearbeitungszeit für manche vielleicht zu knapp gewesen.
25.11.2016:
Auf Blatt 6 wurde in Aufgabe 2 noch ein Hinweis hinzugefügt, da nicht alle Hörer die Einführung in die Funktionalanalysis besucht haben.
24.11.2016:
Blatt 6 ist nun online, wie angekündigt mit etwas Verspätung. Aufgabe 3 von Blatt 5 war zu schwierig, wenn man nur die Definition von Dissipativität zur Verfügung hat. Daher besteht auf Blatt 6 nun noch einmal die Möglichkeit, diese Aufgabe zu bearbeiten.
02.11.2016:
Blatt 3 ist nun vollständig.
02.11.2016:
Eine Aufgabe auf Blatt 3 ist noch in Arbeit. Diese folgt im Laufe des Nachmittags.
26.10.2016:
In Aufgabe 4 auf Blatt 2 wurde noch ein Hinweis hinzugefügt, da das entsprechende Lemma noch nicht in der Vorlesung besprochen wurde.
25.10.2016:
Die erste Übung findet am 02.11.16 statt.
18.10.2016:
Der Termin für die
Übung steht nun fest. Die Abgabe des ersten Übungsblattes ist zu Beginn der Vorlesung am 25.10.16. Alle kommenden Übungsblätter ab Blatt 2 werden jeweils zu Beginn der Übung abgegeben.
11.10.2016:
Der Termin für die
Übung wird in der ersten Vorlesung festgelegt.
Die vierstündige Vorlesung bildet den Hauptteil der Veranstaltung.
Ein Vorlesungsskript, das im Verlauf des Semesters jeweils aktualisiert wird, steht an dieser Stelle zur Verfügung.
Beginn:
Di., 18.10.2016
Zeit/Ort:
Di., 10:30-12:00 Uhr, Seminarraum 25.22.01.81
Fr., 10:30-12:00 Uhr, Seminarraum 25.22.01.81
Inhalt:
In diesem ersten Teil des Zyklus
Partielle Differentialgleichungen I, II geht es
vorwiegend um die Behandlung der großen Klasse der
Evolutionsgleichungen. Diese dienen zur Beschreibung von
zeitabhängigen Prozessen in den Naturwissenschaften wie z.B.
Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Psychologie, Wirtschafts-
und Ingenieurwissenschaften.
Beispiele für Evolutionsgleichungen sind die Wärmeleitungsgleichung,
die Wellengleichung, die Navier-Stokes Gleichung,
die Black Scholes Gleichung oder Populationsgleichungen.
In der Vorlesung soll die Behandlung solcher Gleichungen durch
die Einführung und Anwendung eines leistungsstarken Konzepts,
der sogenannten Theorie der Operatorhalbgruppen vorgestellt
werden.
Hierzu wird die zugrundeliegende Evolutionsgleichung als
gewöhnliche Differentialgleichung in der Zeit t in einem
Banachraum (z.B. L2(ℝn)) aufgefasst. Durch Anwendung
von halbgruppentheoretischen Resultaten erhält man somit
z.B. für die Wärmeleitungsgleichung u'(t)=Δu(t),
u(0)=u0 die elegante Lösungsdarstellung
u(t)=exp(tΔ)u0 mit der sogenannten
Wärmeleitungshalbgruppe (exp(tΔ))t≤0.
Beachte: Ersetzt man den Laplaceoperator Δ durch
eine Matrix A ist diese Darstellung aus der Grundvorlesung
über gewöhnliche Differentialgleichungen bekannt. Die
Theorie der Operatorhalbgruppen beschäftigt sich also u.a.
mit der Frage inwieweit sich diese Darstellung für Matrizen
auf unbeschränkte Operatoren in Banachräumen (wie z.B.
Δ in L2(ℝn)) verallgemeinern lässt.
Die Vorlesung richtet sich an Studierende im Masterstudium.
Grundkenntnisse in Funktionalanalysis sind sehr wünschenswert.
Grundkenntnisse über partielle Differentialgleichungen sind
ebenfalls hilfreich aber nicht unbedingt notwendig.
Literatur:
Lehrbücher:
- W. Arendt, C. J. K. Batty, M. Hieber, F. Neubrander: Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Birkhäuser, Basel etc., 2001.
- E. B. Davies: One-parameter semigroups. Academic Press London etc., 1980.
- K.-J. Engel, R. Nagel: One-parameter semigroups for linear evolution equations. Springer, New York etc., 2000.
- A. Lunardi: Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Birkhäuser, Basel, 1995.
- A. Pazy: Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. Springer, New York etc., 1992.
- H. Tanabe: Equations of evolution. Pitman, London etc., 1979.
Die ersten mündlichen Prüfungen finden am Dienstag, 14.02.2017 und am Mittwoch, 15.02.2017 jeweils in Raum 22.13.03.36 statt. Die zweiten mündlichen Prüfungen finden am Mittwoch, 05.04.2017 und am Donnerstag, 06.04.2017 statt. Bitte melden Sie sich bei Frau Simons (Raum 25.13.03.34) zu einem Termin an.