Seminar infinitäre Modelltheorie - Sommersemester 2024

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Dozent

Prof. Immanuel Halupczok (Sprechzeiten: nach Vereinbarung)

Termine

• Di, 14:30-16:00, Raum 25.22.00.81 (Achtung, Raumänderung! Jetzt im Erdgeschoss.)
• Vorbesprechung: Di 9.4., 14:30-16:00, Raum 25.22.02.81 (d.h. am ersten Termin des Seminars)

Voraussetzungen

Einführung in die Modelltheorie, und am besten auch Modelltheorie 1.

Anmeldung

Wenn Sie Interesse haben, kontaktieren Sie mich am besten möglichst bald per Mail (gerne auch, wenn Sie noch nicht sicher sind, ob Sie teilnehmen möchten). Wenn Sie schon eine Vorstellung haben, für welches Vortragsthema Sie sich interessieren, können wir das gerne schon per Mail besprechen.

Falls am Vorbesprechungstermin noch Plätze frei sind, ist es auch möglich, sich dann vor Ort noch anzumelden.

Ablauf

• Jede(r) Teilnehmer(in) hält einen 75-minütigen Vortrag zu einem vorher festgelegten Thema. Danach sind noch 15 Minuten Zeit für Fragen, Feedback und Diskussion.
• Jeder Vortrag muss mindestens eine Woche vorher mit mir besprochen werden. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie Ihren Vortrag schon vollständig vorbereitet und zeitlich geplant haben. Bitte kontaktieren Sie mich rechtzeitig per Mail, um einen Termin für diese Besprechung zu vereinbaren.
• In den Vorbesprechungen (s.o.) werden organisatorische Dinge geklärt, die Themen vorgestellt, Fragen beantwortet und Vortragsthemen vergeben.

Themen

In diesem Seminar geht es um die Frage: Wie verändert sich Modelltheorie, wenn man in Formeln unendliche Konjunktionen und Disjunktionen erlaubt? Haupt-Quelle ist das Buch Lectures on infinitary model theory von David Marker.

Hier schonmal eine Liste mit Vortragsvorschlägen.

Anmerkung: Vortragende sollten sich auf jeden Fall vorher mal mit mir treffen, um zu entscheiden, welche der (vielen) Übungsaufgaben vorgetragen werden sollen, und auch, um diese Aufgaben zu lösen; und auch, um zu überlegen, ob man noch andere Beispiele geben sollte.

Noch eine Anmerkung: Z.T.

• V1: Infinitäre Logik und Löwenheim-Skolem

  Quelle: Kapitel 1

  Zentrale Inhalte: Def. von $\mathcal{L}_{\infty,\omega}(\tau)$, $\mathcal{L}_{\kappa,\omega}(\tau)$, $\equiv_{\infty,\omega}$, $\equiv_{\kappa,\omega}$; viele Beispiele; führe auch reguläre Kardinalzahlen und erkläre, warum $\kappa$ am besten regulär sein sollte; Löwenheim-Skolem abwärts; ein Gegenbeispiel zu Löwenheim-Skolem aufwärts; Changs Theorem, das besagt, wie man abzählbare $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$-Theorien in klassischer Logik ausdrücken kann

• V2: Karps Theorem

  Quelle: Abschnitt 2.1

  Zentrale Inhalte: Karps Theorem, das verschiedene Charakterisierungen von $\equiv_{\infty,\omega}$ gibt, insbesondere eine Variante des Ehrenfeucht-Fraissé-Spiels; Definition des Quantorenrangs; $\alpha$-Äquivalenz ($\sim_\alpha$).

• V3: Scotts Theorem

  Quelle: Abschnitt 2.2

  Zentrale Inhalte: Eine Charakterisierung von $\alpha$-Äquivalenz über Formeln $\Phi_{\bar{a},\alpha}^{\mathcal{M}}$); der Scott-Rang einer Struktur; die Scott-Aussage $\Phi^{\mathcal{M}}$ einer Struktur; Scotts Isomorphismus-Theorem, der $\equiv_{\infty,\omega}$ mit Hilfe der Scott-Aussage charakterisiert; vollständige Aussagen; evtl. eine Variante von Changs Theorem für vollständige Aussagen

• V4: Abzählbare Annäherungen

  Quelle: Abschnitt 2.3

  Zentrale Inhalte: Clubs $=$ closed, unbounded sets; der Filter $D(X)$; Charakterisierung von $\mathcal{M} \models \phi$ über abzählbare Annäherungen $\mathcal{M}^a \models \phi^a$ (Thm 2.3.9)

• V5: Löwenheim-Skolem aufwärts - jetzt doch

  Quelle: Kapitel 5 bis Abschnitt 5.2

  Zentrale Inhalte: die Kardinalzahlen $\beth_\alpha$; die Hanf-Zahl von $\mathcal{L}_{\omega_1,\omega}$; wenn ein sehr Modell einer bestimmten (sehr großen) Kardinalität existiert, dann existieren beliebig große Modelle.

• V6: Quasi-Minimalität

  Quelle: (Teile von) Kapitel 6

  Zentrale Inhalte: Quasi-minimale Klassen, Dimensionstheorie da drin, ...

• Termine

  • 9.4.: Vorbesprechung
  • 16.4.: Immi: V1: Infinitäre Logik, Löwenheim-Skolem
  • (23.4.: Seminar fällt aus)
  • 30.4.: (Fortsetzung)
  • 7.5.: Sebastian: V2: Karps Theorem
  • 14.5.: Daniel: V3: Scotts Theorem
  • 21.5.: (Vermutlich Fortsetzung)
  • (28.5.: Seminar fällt aus)
  • 4.6.: Julia: V4: Abzählbare Annäherungen
  • 11.6.: Stefan: V5: Löwenheim-Skolem aufwärts - jetzt doch
  • 18.6.: (Vermutlich Fortsetzung)
  • (25.6.: Seminar fällt aus)
  • 2.7.: Marcelo: V6: Quasi-Minimalität
  • 9.7.: (Vermutlich Fortsetzung)
  • 16.7.: tba

  Tipps zur Vortragsvorbereitung

  • Das Ziel Ihres Vortrags sollte sein, Ihr Thema so vorzustellen, dass es für die anderen Seminarteilnehmer interessant ist. Mir ist es wichtig, dass die Zuhörer Spaß an Ihrem Vortrag haben, und nicht, ob irgendwelche Beweise vollständig von vorne bis hinten vorgetragen werden. (Das wichtigste, was Sie selbst dabei lernen sollten, ist nicht die Mathematik, sondern wie man mathematische Vorträge hält.)
  • Bevor Sie Ihren Vortrag planen, sollten Sie selbst Ihr Thema richtig verstanden haben. Es ist nicht möglich, einen guten Vortrag über etwas zu halten, was man selbst nicht vestanden hat. Wenn Sie Verständnisschwierigkeiten haben, kann ich Sie unterstützen; kontaktieren Sie mich bitte rechtzeitig.
  • Nachdem Sie viel Zeit darin investiert haben, etwas zu vestehen, werden Sie vielleicht das Bedürfnis haben, das auch alles vorzutragen. Wahrscheinlich werden Sie aber viel mehr Material haben, als in 75 Minuten passen; Ihre Aufgabe ist also inbesondere, eine geeignete Auszuwahl zu treffen. Insbesondere sollten Sie Beweise oder technische Details weglassen, die langweilig oder (in der Kürze der Zeit) unverständlich wären. Statt dessen werden Dinge oft durch Beispiele viel verständlicher. (Sie können sich überlegen: Wie würden Sie selbst sich eine Vorlesung zu Ihrem Thema wünschen?)