Gemischte Themen zur Algebra - Wintersemester 2022/23

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Dozent

Prof. Immanuel Halupczok (Sprechzeiten: nach Vereinbarung)

Termine

• Mo, 10:30-12:30, Raum 25.22.00.72
• Vorbesprechung: Mo, 10.10., 10:30-12:30, Raum 25.22.00.72 (d.h. am ersten Termin des Seminars)

Voraussetzungen

Algebra

Anmeldung

Wenn Sie Interesse haben, kontaktieren Sie mich am besten möglichst bald per Mail (gerne auch, wenn Sie noch nicht sicher sind, ob Sie teilnehmen möchten). Wenn Sie schon eine Vorstellung haben, für welches Vortragsthema Sie sich interessieren, können wir das gerne schon per Mail besprechen.

Falls am Vorbesprechungstermin (am 10.10.) noch Plätze frei sind, ist es auch möglich, sich dann vor Ort noch anzumelden.

Ablauf

• Jede(r) Teilnehmer(in) hält einen 75-minütigen Vortrag zu einem vorher festgelegten Thema. Danach sind noch 15 Minuten Zeit für Fragen, Feedback und Diskussion.
• Jeder Vortrag muss mindestens eine Woche vorher mit mir besprochen werden. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie Ihren Vortrag schon vollständig vorbereitet und zeitlich geplant haben. Bitte kontaktieren Sie mich rechtzeitig per Mail, um einen Termin für diese Besprechung zu vereinbaren.
• In den Vorbesprechungen (s.o.) werden organisatorische Dinge geklärt, die Themen vorgestellt, Fragen beantwortet und Vortragsthemen vergeben.

Planung

• 17.10.: Marcelo: Lokalisierung von Ringen und lokale Ringe
• 24.10.: Immi
• 31.10.: Chany: Semidirekte Produkte von Gruppen
• 7.11.: Viktor: Klassifikation (fast) aller Gruppen kleiner Ordnung
• 14.11.: Immi
• 21.11.: Tom: die Gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[i] = \{a + i b\mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ und Andwendungen
• 28.11.: Immi
• 5.12.: Anastasia: Ganze Ringerweiterungen, Normalität
• 12.12.: Maren: Kreisteilungskörper und Kreisteilungspolynome
• 19.12.: Immi
• (9.1.: Seminar fällt aus)
• 16.1.: Philipp: Transzendenz von $e$
• 23.1.: Immi

Themen

In diesem Seminar werden gemischte Themen aus der Algebra behandelt werden, die typischerweise auf der Algebra-Vorlesung aufbauen. Hier ist eine Liste mit möglichen Themen / Richtungen: (Viele der aufgelisteten Themen könnten auch gut von mehreren Leuten in aufeinanderfolgenden Vorträgen behandelt werden.)

• Gruppen:
  • Semi-direkte Produkte von Gruppen
  • Klassifikation (fast) aller Gruppen kleiner Ordnung mit Hilfe der Sylow-Sätze
• Ringe:
  • Lokalisierung von Ringen, lokale Ringe
  • Normale (= ganz-abgeschlossene) Ringe
  • Primideale, Primidealzerlegung, gebrochene Ideale, Dedekind-Ringe
  • Euklidische Ringe und Beispiel-Anwendungen
  • die Gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[i] = \{a + i b\mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ und Andwendungen davon (z. B.: Welche natürlichen Zahlen lassen sich als Summe von zwei Quadraten schreiben? Oder: Bestimmung aller pytagoräischen Zahlen-Tripel.)
  • Quadratische Zahlringe wie $\mathbb{Z}[\sqrt 2] = \{a + \sqrt2 b\mid a, b \in \mathbb{Z}\}$ und ihre Eigenschaften (Welche sind euklidisch / faktoriell / Hauptidealringe? Was sind die Einheiten?)
  • Resultanten und Diskriminanten von Polynomen
• Körper:
  • Kreisteilungskörper (d.h. $\mathbb Q(\zeta_n)$, für eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta_n$), Kreisteilungspolynome (Minimalpolynom von $\zeta_n$)
  • Spur und Norm von Körpererweiterungen; Anwendungen (z.B. um den Fixkörper einer Untergruppe einer Galois-Gruppe zu bestimmen)
  • Die allgemeine Lösung von Gleichungen 3. (oder 4.) Grades
  • Unendliche Galois-Theorie (d.h. für Galois-Theorie für unendliche algebraische Körpererweiterungen)
  • Untersuchung von nicht-algebraischen Körpererweiterungen; insbesondere algebraische Unabhängigkeit, Transzendenzbasen, Transzendenzgrad
  • Transzendenz von $e$ (und vielleicht auch $\pi$)
  • Galois-Theorie endlicher Körper
  • Schiefkörper (d.h. Körper, bei denen die Multiplikation nicht kommutativ sein muss)

Ein paar Quellen (sowohl zu den obigen Vorschlägen, als auch für weitere mögliche Themen):

• G. Fischer: Lehrbuch der Algebra
• G. Fischer, R. Sacher: Einführung in die Algebra
• S. Bosch: Algebra
• S. Lang: Algebra
• A. Leutbecher: Zahlentheorie
• A. Schmidt: Einführung in die algebraische Zahlentheorie

Tipps zur Vortragsvorbereitung

• Das Ziel Ihres Vortrags sollte sein, Ihr Thema so vorzustellen, dass es für die anderen Seminarteilnehmer interessant ist. Mir ist es wichtig, dass die Zuhörer Spaß an Ihrem Vortrag haben, und nicht, ob irgendwelche Beweise vollständig von vorne bis hinten vorgetragen werden. (Das wichtigste, was Sie selbst dabei lernen sollten, ist nicht die Mathematik, sondern wie man mathematische Vorträge hält.)
• Bevor Sie Ihren Vortrag planen, sollten Sie selbst Ihr Thema richtig verstanden haben. Es ist nicht möglich, einen guten Vortrag über etwas zu halten, was man selbst nicht vestanden hat. Wenn Sie Verständnisschwierigkeiten haben, kann ich Sie unterstützen; kontaktieren Sie mich bitte rechtzeitig.
• Nachdem Sie viel Zeit darin investiert haben, etwas zu vestehen, werden Sie vielleicht das Bedürfnis haben, das auch alles vorzutragen. Wahrscheinlich werden Sie aber viel mehr Material haben, als in 75 Minuten passen; Ihre Aufgabe ist also inbesondere, eine geeignete Auszuwahl zu treffen. Insbesondere sollten Sie Beweise oder technische Details weglassen, die langweilig oder (in der Kürze der Zeit) unverständlich wären. Statt dessen werden Dinge oft durch Beispiele viel verständlicher. (Sie können sich überlegen: Wie würden Sie selbst sich eine Vorlesung zu Ihrem Thema wünschen?)