Angesichts der derzeitigen angespannten Corona-Situation werden wir die ersten beiden Sitzungen (16. und 23.04.) in Form einer Video-Konferenz durchführen. Anfang kommender Woche werden Sie die Einladungen erhalten.
In der Hoffnung, im April zumindest für kleinere Veranstaltungen wieder zur Präsenzlehre zurückkehren zu können, ist das Seminar mit Tafelvorträgen im Hörsaal (6 D) geplant. Sollte es erneut zu einem Lockdown kommen, müssen wir auf Videokonferenzen umsteigen. Als Textvorlage dient das u.g. Buch "Analysis" von Lieb und Loss; sollten Sie Schwierigkeiten haben, es auszuleihen, kann ich Ihnen geeignete Auszüge zur Verfügung stellen.
Allgemeine Informationen
Beginn der Veranstaltung; gleich mit dem 1. Vortrag: Freitag, den 16. April 2021
Zeit und Ort: Wöchentlich freitags 14.30 - 16.15 Uhr in Hörsaal 6 D
Inhalt:
Es sollen einige wichtige Abschätzungen für Faltungen wie z. B. die Young'sche Ungleichung, die schwache Young'sche Ungleichung und - als ein Spezialfall der letzteren - die Ungleichung
von Hardy, Littlewood und Sobolev (HLS) auf elementare Weise bewiesen werden. Zusammen mit einigen Grundtatsachen über temperierte Distributionen ergibt sich dann der Sobolevsche
Einbettungssatz für den R^n. Die Beweismethoden sind masstheoretischer Art: Umordnungen und Symmetrisierungen von Mengen und Funktionen spielen eine zentrale Rolle. Dieser Zugang ist etwas
mühsamer als die Verwendung der Interpolationstheorie, er liefert allerdings auch in verschiedenen Fällen die "besten" Konstanten, was via Interpolation nicht erreichbar ist. Für die
Young'sche und die HLS-Ungleichung werden auch die jeweils optimierenden Funktionenscharen bestimmt.
Textgrundlage: Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis; Graduate Studies in Mathematics (AMS), Vol. 14, Kap.2, 3, 4, 8.2-8.4 und 5.9
Leistungsnachweis: Die erfolgreiche Teilnahme an der
Veranstaltung wird durch einen 90 minütigen (Tafel-, evtl. Folien-) Vortrag erreicht.
Sie sollten zu Ihrem eigenen Gebrauch (beim Vortrag) eine detaillierte
schriftliche Ausarbeitung erstellen. Die KÖNNEN Sie mir vor dem Vortrag auch
vorlegen, dann kann ich Sie ggf. auf Lücken, Ungenauigkeiten u.ä. hinweisen.
Das ist aber nicht Pflicht. Wenn Sie eine Kopie dieser Ausarbeitung oder Auszüge daraus
den anderen Teilnehmern und mir zur Verfügung stellen, ist das förderlich, aber auch
das ist nicht obligatorisch. Beachten Sie
bei der Ausarbeitung Ihres Vortrags bitte diese Hinweise von Manfred
Lehn Wie halte ich einen Seminarvortrag?.
Anmeldung: Am besten unter Angabe des gewünschten Vortragsthemas per e-mail an den Dozenten. Auch via Portal möglich.
Themen der Vorträge und (vorläufige) Terminplanung:
(2) 23.04.21 (Stacie Bub) Dualräume von L^p und Satz von Banach-Alaoglu. (LL. 2.14+2.18)
(3) 04.06.21 (Frederick Skaba) Umordnung von Mengen und Funktionen. Definitionen und elementare Eigenschaften. Zwei einfache Ungleichungen für Umordnungen. (LL. 3.2-3.5)
(4) --.--.21 () Riesz-Ungleichung in einer Dimension; Steiner- und Schwarz-Symmetrisierung; 1. Beweis der Riesz-Ungleichung in höheren Dimensionen. (LL. 3.6-3.7)
(5) --.--.21 () 2. Beweis der Riesz-Ungleichung in höheren Dimensionen, Verallgemeinerung und strikte Ungleichheit. (LL. 3.7-3.9)
(7) --.--.21 () Die Ungleichung von Hardy, Littlewood und Sobolev (HLS); schwache L^p-Räume, schwache Young'sche Ungleichung; Beweis von HLS mit nicht-optimaler Konstante. (LL. 4.3)
(8) --.--.21 () Konforme Abbildungen und Invarianz der HLS-Ungleichung. (LL. 4.4-4.5)
(9) --.--.21 () Scharfe Version der HLS-Ungleichung: Vorbemerkungen, konkurrierende Symmetrien, Beweis der HLS-Ungleichung mit optimaler Konstante; Verhalten von Optimierern unter konformen Abbildungen. (LL. 4.5-4.8)
(10) 18.06.21 (Alexander Brück) Die Sobolevräume H^s und deren homogene Varianten, Anwendung der HLS-Ungleichung zum Beweis des Sobolevschen Einbettungssatzes mit optimaler Konstante. (LL. 8.2-8.4, 5.9)